Тригонометричні тотожності — це рівняння, що пов’язують різні тригонометричні функції. Вони правильні для будь-якого можливого значення кута. Єдиною змінною, яка потрібна, є сам кут.
Розглянемо зв’язок між синусом та косекансом для кута α.
sin(α) = 1 / csc(α)
Це рівняння показує, що синус є оберненою величиною косекансу, і навпаки. Воно працює для будь-якого значення. Саме ця універсальна застосовність визначає його як тотожність.
Три основні категорії
Більшість базових тригонометричних тотожностей поділяються на три групи:
- Тотоги зворотних функцій : показують зворотний зв’язок між функціями (наприклад, sin і csc, cos і sec, tan і cot).
- Піфагорові тотожності : виводяться з одиничного кола та теореми Піфагора (наприклад, sin²θ + cos²θ = 1).
- Тотоги приватного : виражають тангенс і котангенс у вигляді відносин (tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ).
Крім цих трьох основних типів, можна вивести інші тотожності залежно від конкретних функцій та кутів, з якими доводиться працювати.
Чому «тотожність» означає, що воно працює скрізь
Часте питання: чому тригонометричні тотожності застосовні до всіх кутів? Тому що вони засновані на геометричних і алгебраїчних істинах, а не на конкретних випадках. Зв’язок sin(α) * csc(α) = 1 вірний не тільки при 30 градусах або 90 градусах. Вона структурно вірна будь-якого дійсного числа α, у якому функції визначені. Це робить їх потужним інструментом для спрощення виразів та розв’язування рівнянь без підстановки конкретних чисел.
*Головний висновок: якщо рівняння між тригонометричними функціями виконується для кожного допустимого кута, це тотожність. Якщо воно працює тільки для певних кутів, це просто рівняння.
Як тотожності кофункцій та парності спрощують тригонометричні обчислення
Коли ви освоїли основні зворотні функції та зв’язки, що базуються на теоремі Піфагора, наступний рівень стає складнішим. Потрібно розуміти, як кути співвідносяться зі своїми додатковими кутами і як поводяться функції зміни знака.
Тотожності кофункцій пов’язують тригонометричну функцію кута з функцією його додаткового кута. Вони працюють, тому що, наприклад, синус і косинус описують на одиничному колі схожі, але зрушені траєкторії. Якщо ви знаєте $\sin(30^\circ)$, ви можете знайти $\cos(60^\circ)$, не виконуючи жодних нових обчислень. Пари виглядають так:
- $\sin(\theta) = \cos(90^\circ – \theta)$
- $ \ cos ( \ theta) = \ sin (90 ^ \ circ – \ theta) $
- $\tan(\theta) = \cot(90^\circ – \theta)$
- $\cot(\theta) = \tan(90^\circ – \theta)$
- $\sec(\theta) = \csc(90^\circ – \theta)$
- $\csc(\theta) = \sec(90^\circ – \theta)$
Потім є парність. Це звучить складно, але питання зводиться до одного: чи симетрична функція?
Тотожності парних функцій мають симетрію щодо осі y. Якщо змінити знак кута, значення залишиться незмінним.
– $ \ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta) $
– $\sec(-\theta) = \sec(\theta)$
Тотоги непарних функцій не мають такої симетрії. Якщо змінити знак, значення також змінить знак.
– $\sin(-theta) = -sin(\theta)$
– $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$
– $\csc(-theta) = -\csc(\theta)$
– $\cot(-\theta) = -\cot(\theta)$
Чому це важливо? Тому що це дозволяє миттєво працювати із негативними кутами. Довідкові таблиці непотрібні.
Які формули суми та різниці кутів дозволяють знайти невідомі кути?
Застрягли на вугіллі, наприклад $150^\circ$? Чи не вгадуйте. Розбийте його на частини.
Тотожності суми та різниці кутів дозволяють розкласти незнайомий кут на два вже відомі. Якщо ви знаєте значення $240^\circ$ і $90^\circ$, ви можете представити $150^\circ$ як $240^\circ – 90^\circ$ і обчислити результат звідси. Не магія. Це алгебра з тригонометричними функціями.
Формули суми кутів виглядають так:
– $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$
– $ \ cos (A + B) = \ cos (A) \ cos (B) – \ sin (A) \ sin (B) $
– $\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 – \tan(A)\tan(B)}$
Формули різниці кутів майже ідентичні, просто зі знаком мінус у потрібних місцях:
– $\sin(A – B) = \sin(A)\cos(B) – \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A – B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A – B) = \frac{\tan(A) – \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}$
Це робітники конячки. Використовуйте їх, коли пряме обчислення не виходить.
Як тотожності подвійного кута розширюють формули суми?
Тотожності подвійного кута — це окремий випадок формул суми, де обидва кути однакові. Якщо покласти $A = B$, все спрощується.
Якщо ви застрягли на $120^\circ$, але знаєте $60^\circ$, це ваш вихід.
– $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
– $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)$
– $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 – \tan^2(\theta)}$
Ви можете розширити ці формули і зворотні функції:
– $\csc(2\theta) = \frac{1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}$
– $\sec(2\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)}$
– $\cot(2\theta) = \frac{1 – \tan^2(\theta)}{2\tan(\theta)}$
Вони заощаджують час. Вони запобігають помилкам. І вони роблять складні частини тригонометрії керованими, навіть якщо позначення спочатку виглядають жахливо.
