Tigonometrické identity jsou rovnice, které spojují různé goniometrické funkce. Platí pro jakoukoli možnou hodnotu úhlu. Jedinou požadovanou proměnnou je úhel samotný.
Uvažujme vztah mezi sinusem a kosekansem pro úhel α.
sin(α) = 1 / csc(α)
Tato rovnice ukazuje, že sinus je převrácená hodnota kosekansu a naopak. Funguje pro jakoukoli hodnotu α. Právě tato univerzální použitelnost jej definuje jako identitu.
Tři hlavní kategorie
Většina základních trigonometrických identit spadá do tří skupin:
- Identity inverzních funkcí : ukazují inverzní vztah mezi funkcemi (například sin a csc, cos a sec, tan a cot).
- Pythagorovy identity : odvozené z jednotkového kruhu a Pythagorovy věty (například sin²θ + cos²θ = 1).
- Soukromé identity : vyjadřují tangens a kotangens jako poměry (tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ).
Kromě těchto tří základních typů lze odvodit další identity v závislosti na konkrétních funkcích a úhlech, se kterými je třeba pracovat.
Proč „identita“ znamená, že funguje všude
Často kladená otázka: Proč se goniometrické identity vztahují na všechny úhly? Protože jsou založeny na geometrických a algebraických pravdách, nikoli na konkrétních případech. Vztah sin(α) * csc(α) = 1 platí nejen pro 30 stupňů nebo 90 stupňů. Strukturálně platí pro jakékoli reálné číslo α, pro které jsou funkce definovány. Díky tomu jsou výkonným nástrojem pro zjednodušení výrazů a řešení rovnic bez zapojování konkrétních čísel.
Hlavní závěr: pokud je rovnice mezi goniometrickými funkcemi splněna pro každý přípustný úhel, jedná se o identitu. Pokud to funguje jen pro určité úhly, je to jen rovnice.
Jak kofunkční a paritní identity zjednodušují trigonometrické výpočty
Jakmile si osvojíte základní inverzní funkce a spojení na základě Pythagorovy věty, další úroveň bude obtížnější. Musíte pochopit, jak úhly souvisí s jejich komplementárními úhly a jak se funkce chovají, když se změní jejich znaménko.
Kofunkční identity spojují goniometrickou funkci úhlu s funkcí jeho komplementárního úhlu. Fungují proto, že například sinus a kosinus popisují podobné, ale posunuté trajektorie na jednotkové kružnici. Pokud znáte $\sin(30^\circ)$, můžete najít $\cos(60^\circ)$, aniž byste museli provádět nové výpočty. Dvojice vypadají takto:
- $\sin(\theta) = \cos(90^\circ – \theta)$
- $\cos(\theta) = \sin(90^\circ – \theta)$
- $\tan(\theta) = \cot(90^\circ – \theta)$
- $\cot(\theta) = \tan(90^\circ – \theta)$
- $\sec(\theta) = \csc(90^\circ – \theta)$
- $\csc(\theta) = \sec(90^\circ – \theta)$
Pak je tu parita. Zní to složitě, ale otázka směřuje k jedné věci: je funkce symetrická?
Identity sudých funkcí mají symetrii kolem osy y. Pokud změníte znaménko úhlu, hodnota zůstane stejná.
– $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$
– $\sec(-\theta) = \sec(\theta)$
Identity lichých funkcí nemají takovou symetrii. Pokud změníte znaménko, změní se i hodnota.
– $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$
– $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$
– $\csc(-\theta) = -\csc(\theta)$
– $\cot(-\theta) = -\cot(\theta)$
Proč je to důležité? Protože vám umožňuje okamžitě pracovat s negativními úhly. Vyhledávací tabulky nejsou potřeba.
Jaké vzorce pro součet a rozdíl úhlů vám umožňují najít neznámé úhly?
Zaseknutý na uhlí, třeba 150 $^\circ$? Nehádejte. Rozdělte to na kousky.
Součtové a rozdílové identity úhlů nám umožňují rozložit neznámý úhel na dva již známé. Pokud znáte hodnoty pro $240^\circ$ a $90^\circ$, můžete reprezentovat $150^\circ$ jako $240^\circ – 90^\circ$ a vypočítat výsledek odtud. Není to magie. Toto je algebra s goniometrickými funkcemi.
Vzorce pro součet úhlů vypadají takto:
– $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) – \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 – \tan(A)\tan(B)}$
Vzorce pro rozdíl úhlů jsou téměř totožné, jen se znaménkem mínus na správných místech:
– $\sin(A – B) = \sin(A)\cos(B) – \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A – B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A – B) = \frac{\tan(A) – \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}$
To jsou pracanti. Použijte je, když není možný přímý výpočet.
Jak identity s dvojitým úhlem rozšiřují součtové vzorce?
Dvojité úhlové identity jsou speciálním případem součtových vzorců, kde jsou oba úhly stejné. Pokud dáme $A = B$, vše se zjednoduší.
Pokud jste uvízli na $120^\circ$, ale dobře si uvědomujete $60^\circ$, toto je vaše cesta ven.
– $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
– $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)$
– $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 – \tan^2(\theta)}$
Tyto vzorce můžete rozšířit na inverzní funkce:
– $\csc(2\theta) = \frac{1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}$
– $\sec(2\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)}$
– $\cot(2\theta) = \frac{1 – \tan^2(\theta)}{2\tan(\theta)}$
Šetří čas. Zabraňují chybám. A díky nim jsou obtížné části trigonometrie zvládnutelné, i když zápis na první pohled vypadá skličující.
