Identitas trigonometri adalah persamaan yang menghubungkan fungsi trigonometri yang berbeda. Mereka berlaku untuk setiap kemungkinan nilai sudut. Satu-satunya variabel yang dibutuhkan adalah sudut itu sendiri.
Ambil hubungan antara sinus dan kosekan untuk sudut α.
dosa(α) = 1 / csc(α)
Persamaan ini menunjukkan bahwa sinus merupakan kebalikan dari kosekan dan sebaliknya. Ini berfungsi untuk nilai α apa pun. Validitas universal itulah yang mendefinisikannya sebagai sebuah identitas.
Tiga Kategori Dasar
Sebagian besar identitas pemicu dasar terbagi dalam tiga kelompok:
- Identitas timbal balik : Menampilkan hubungan terbalik antar fungsi (misalnya sin dan csc, cos dan detik, tan dan cot).
- Identitas Pythagoras : Berasal dari lingkaran satuan dan teorema Pythagoras (misalnya sin²θ + cos²θ = 1).
- Identitas hasil bagi : Nyatakan tangen dan kotangen sebagai rasio (tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ).
Di luar ketiga tipe inti ini, Anda dapat memperoleh tipe inti lainnya bergantung pada fungsi dan sudut spesifik yang terlibat.
Mengapa “Identitas” Berarti Berfungsi Di Mana Saja
Pertanyaan umum adalah mengapa identitas trigonometri berlaku untuk semua sudut? Karena identitas tersebut didasarkan pada kebenaran geometri dan aljabar, bukan kasus tertentu. Hubungan sin(α) * csc(α) = 1 tidak hanya benar pada 30 derajat atau 90 derajat. Secara struktural hal ini berlaku untuk setiap bilangan real α yang fungsi-fungsinya terdefinisi. Hal ini menjadikannya alat yang ampuh untuk menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan persamaan tanpa perlu memasukkan angka.
Kesimpulan utama: jika persamaan antara fungsi trigonometri berlaku untuk setiap sudut valid, maka persamaan tersebut merupakan identitas. Jika hanya berfungsi untuk sudut tertentu, itu hanya persamaan.
Bagaimana identitas kofungsi dan paritas menyederhanakan penghitungan trigonometri
Setelah Anda memiliki tautan timbal balik dan Pythagoras dasar, lapisan berikutnya menjadi lebih rumit. Anda perlu mengetahui bagaimana sudut berhubungan dengan komplemennya dan bagaimana fungsi berperilaku ketika tandanya terbalik.
Identitas kofungsi menghubungkan fungsi trigonometri suatu sudut dengan fungsi komplemennya. Mereka bekerja karena sinus dan kosinus, misalnya, menelusuri jalur yang serupa tetapi bergeser pada lingkaran satuan. Jika Anda mengetahui $\sin(30^\circ)$, Anda dapat menemukan $\cos(60^\circ)$ tanpa menghitung sesuatu yang baru. Pasangannya adalah:
- $\sin(\theta) = \cos(90^\circ – \theta)$
- $\cos(\theta) = \sin(90^\circ – \theta)$
- $\tan(\theta) = \cot(90^\circ – \theta)$
- $\cot(\theta) = \tan(90^\circ – \theta)$
- $\detik(\theta) = \csc(90^\circ – \theta)$
- $\csc(\theta) = \detik(90^\circ – \theta)$
Lalu ada paritas. Kedengarannya mewah, tetapi yang ditanyakan hanyalah: apakah fungsinya simetris?
Identitas genap memiliki simetri pada sumbu y. Balikkan tanda sudut, dan nilainya tetap sama.
– $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$
– $\detik(-\theta) = \detik(\theta)$
Identitas aneh tidak memiliki simetri itu. Balikkan tandanya, dan nilainya pun ikut berubah.
– $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$
– $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$
– $\csc(-\theta) = -\csc(\theta)$
– $\cot(-\theta) = -\cot(\theta)$
Mengapa ini penting? Karena ini memungkinkan Anda menangani sudut negatif secara instan. Tidak diperlukan tabel pencarian.
Rumus penjumlahan dan selisih manakah yang menyelesaikan sudut yang tidak diketahui?
Terjebak pada sudut seperti $150^\circ$? Jangan menebak. Hancurkan.
Identitas penjumlahan dan perbedaan memungkinkan Anda membagi sudut asing menjadi dua yang sudah Anda ketahui. Jika Anda mengetahui nilai $240^\circ$ dan $90^\circ$, Anda dapat membingkai ulang $150^\circ$ menjadi $240^\circ – 90^\circ$ dan menghitung dari sana. Ini bukan sihir. Itu aljabar dengan fungsi trigonometri.
Rumus jumlah sudut terlihat seperti ini:
– $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) – \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 – \tan(A)\tan(B)}$
Rumus selisih sudut hampir sama, hanya dengan tanda minus di titik yang tepat:
– $\sin(A – B) = \sin(A)\cos(B) – \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A – B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A – B) = \frac{\tan(A) – \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}$
Ini adalah pekerja keras. Gunakan mereka ketika evaluasi langsung gagal.
Bagaimana identitas sudut ganda memperluas rumus penjumlahan?
Identitas sudut ganda hanyalah kasus khusus dari rumus penjumlahan yang kedua sudutnya sama. Tetapkan $A = B$, dan semuanya runtuh.
Jika Anda terjebak pada $120^\circ$ tetapi tahu $60^\circ$ dingin, ini adalah jalan keluar Anda.
– $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
– $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)$
– $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 – \tan^2(\theta)}$
Anda juga dapat memperluasnya ke fungsi timbal balik:
– $\csc(2\theta) = \frac{1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}$
– $\detik(2\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)}$
– $\cot(2\theta) = \frac{1 – \tan^2(\theta)}{2\tan(\theta)}$
Mereka menghemat waktu. Mereka mencegah kesalahan. Dan mereka membuat bagian trigonometri yang berantakan terasa mudah diatur, meskipun notasinya terlihat menakutkan pada awalnya.
