I numeri non sono solo simboli astratti. Sono gli elementi costitutivi della realtà.
Un numero è qualsiasi numero intero positivo o negativo. Può anche essere qualsiasi numero reale o complesso. I numeri complessi assumono la forma a + bi. Qui a e b sono numeri reali. La i è la radice quadrata di quella negativa.
Quando b è zero e a è diverso da zero, ottieni un numero immaginario puro. Quando sia a che b sono diversi da zero, è un numero complesso misto.
Il sistema dei numeri reali
I numeri reali sono un gruppo enorme. Includono numeri razionali e irrazionali.
I numeri razionali sono semplici. Puoi scriverli come numeri interi o come quoziente di due numeri interi.
– 12 è razionale.
– 13/5 è razionale.
– -4/11 è razionale.
Tutti i numeri razionali sono anche algebrici. Ciò significa che sono radici di un’equazione polinomiale a coefficienti razionali.
I numeri irrazionali sono diversi. Non puoi esprimerli come una frazione semplice. La radice quadrata di 2 è un classico esempio. Va avanti per sempre senza ripetersi.
Spiegazione dei numeri trascendentali
Non tutti i numeri irrazionali sono algebrici. Alcuni non possono essere la soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti razionali. Questi sono numeri trascendenti.
Questa distinzione è importante. Separa i numeri come la radice quadrata di 2 dagli altri.
La radice quadrata di 2 è algebrica. Risolve l’equazione x² = 2.
Ma molti irrazionali non risolvono tali equazioni.
La base del logaritmo naturale, e, è trascendentale. Anche Pi, π, è trascendente. Così sono alcune combinazioni di questi due.
La storia dimostra che questo era un fatto difficile da dimostrare.
Charles Hermite dimostrò che e era trascendentale nel 1873.
Ferdinand von Lindemann dimostrò che π era trascendente nel 1882.
Quello fu il primo numero mai dimostrato trascendentale.
Classi di numeri speciali
Oltre alle categorie principali, esistono tipi specifici di numeri con caratteristiche uniche.
I Numeri quadrati sono numeri interi che sono il quadrato di un altro numero intero. 9 è un numero quadrato perché 3² = 9.
I numeri perfetti sono rari. Sono uguali alla somma dei loro fattori propri. Ad esempio, 6 è perfetto. I suoi fattori propri sono 1, 2 e 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Numeri casuali rappresentano i risultati delle procedure di selezione casuale. Non sono definiti da una formula ma dal loro metodo di generazione.
I Numeri primi sono numeri interi maggiori di 1. I loro unici divisori positivi sono 1 e se stessi. 2, 3, 5, 7 e 11 sono primi. 4 no. È divisibile per 2.
Queste classificazioni ci aiutano a organizzare il mondo infinito dei numeri. Forniscono struttura. Permettono un calcolo preciso. Senza di loro, la matematica sarebbe un caos caotico.
Quale tipo di numero usi più spesso nella vita quotidiana? Probabilmente razionali. Ma più vai in profondità, più diventa strano.
