Devi aggiungere le frazioni. Stai guardando il denominatore. sono diversi. Questo è molto fastidioso.
La soluzione sta in un concetto che la maggior parte degli studenti temono, ma su cui in realtà fanno sempre affidamento. Questo è il minimo comune multiplo, spesso abbreviato LCM o mcm in spagnolo.
Mettiamo da parte il gergo accademico. Il minimo comune multiplo è il numero più piccolo divisibile per due o più numeri interi. Nessun resto. Solo una divisione pulita.
Qual è il minimo comune multiplo?
Non farti prendere dal panico se vedi mcm(a, b) = x. Significa semplicemente:
- a e b sono i numeri iniziali (numeri naturali).
- x è il risultato più piccolo divisibile sia per a che per b.
Prendiamo ad esempio i numeri 2 e 3.
Elenca i multipli del numero 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Elenca i multipli del numero 3: 3, 6, 9, 12, 15…
Scopri dove i tuoi elenchi si sovrappongono. Il primo numero che appare in entrambi gli elenchi è 6.
Pertanto mcm(2, 3) = 6.
Puoi espanderlo quanto ti serve. Due o tre numeri sono standard, ma la logica si applica anche a quattro, cinque o più numeri. L’obiettivo è lo stesso, trovare il multiplo condiviso più piccolo.
Perché ne abbiamo bisogno?
Questo è più di un semplice esercizio matematico. Il minimo comune multiplo ha un’importante applicazione nel mondo reale: addizione e sottrazione di frazioni.
1/2 e 1/3 non possono essere sommati direttamente. Il denominatore è diverso. Per risolvere questo problema, dobbiamo trovare un denominatore comune. La scelta più intelligente? Il minimo comune multiplo di questi denominatori. Mantieni i numeri piccoli e i calcoli più efficienti.
Tre modi per calcolare il minimo comune multiplo
Non esiste un modo “giusto”. Proprio quello che funziona per il cervello. Ecco i tre metodi più efficaci.
1. Elencare i multipli
Questo è il metodo più intuitivo per i principianti.
- Scrivi il multiplo del primo numero.
- Scrivi il multiplo del secondo numero.
- Trova il primo numero in entrambi gli elenchi.
4 e 6 :
* Multipli di 4: 4, 8, 12, 16…
* Multipli di 6: 6, 12, 18…
La prima corrispondenza è 12. Pertanto mcm(4, 6) = 12.
Funziona bene per piccoli numeri. Se il numero è grande, fallirà.
2. Fattorizzazione dei primi
Questo è un approccio efficace. Può essere ampliato.
- Scomponi ciascun numero nei suoi fattori primi.
- Ottieni tutti i numeri primi unici nell’elenco.
- Utilizzare la potenza più alta trovata per ciascun fattore primo.
- Moltiplicali insieme.
**mcm(12,
Trovare il minimo comune multiplo non deve essere come risolvere equazioni complesse. Identificare i modelli numerici è importante affinché studenti e genitori comprendano questo concetto. Puoi scegliere il metodo più adatto ai numeri con cui hai a che fare.
Elenca i multipli di numeri piccoli
Il metodo di elenco è il migliore per lavorare con numeri interi piccoli e gestibili. Prendi due numeri, diciamo 3 e 4, e scrivi i loro multipli in ordine.
Multipli di 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Multipli di 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Cerca duplicati. Entrambe le liste ne hanno 12. Abbiamo bisogno del minimo comune multiplo, quindi ci fermiamo qui.
mcm(3, 4) = 12
E’ molto semplice. Ma cosa succede quando il numero aumenta?
Fattorizzazione dei numeri primi per numeri più grandi
Man mano che i numeri crescono, diventa noioso elencarne diversi. Un altro metodo utilizza la scomposizione in fattori primi. Suddividi i numeri nei loro elementi costitutivi principali.
Inizia con 12 e 16. Dividili per il numero primo più piccolo, 2. Continua a dividere per 2 finché il risultato non è un numero intero.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
Non puoi dividere 3 per 2 in modo uniforme. Passa al numero primo successivo, ovvero 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Questo processo continua fino a raggiungere 1. Confrontando i fattori primi, è possibile determinare il minimo comune multiplo senza dover enumerare una serie infinita di numeri.
Trova il minimo comune multiplo tra 15 e 25
Quando si ha a che fare con numeri più grandi, elencare i multipli diventa noioso. Questo è il motivo per cui la scomposizione in fattori primi è così potente in questo caso. Analizziamo 15 e 25 e vediamo cosa c’è sotto.
Inizia con il numero 15. Questo si divide nettamente in 3 e 5 . Entrambi sono primi.
Ora guarda 25. È 5** moltiplicato per se stesso, ovvero $5^2$.
L’obiettivo è selezionare la potenza più alta di ciascun elemento nell’elenco.
Con il numero iniziale 3, ricorre solo nel primo numero (15). Ecco perché introduciamo 3.
Per i primi 5, 15 ha $ 5 ^ 1 $ e 25 ha $ 5 ^ 2 $. L’esponente più alto è 2. Pertanto, prendiamo $5^2$ (o 25).
Moltiplicateli insieme:
$3 \volte 25 = 75$
Pertanto lcm(15, 25) = 75.
Questo metodo funziona perché ogni numero originale divide equamente il risultato. È più veloce che scrivere lunghi elenchi di multipli, soprattutto se il numero ha più di 3 cifre.
Per i numeri primi
E se ti chiedessero di trovare il minimo comune multiplo di due numeri primi? Tipo 2 e 5?
È facile. Basta moltiplicarli. Perché? Questo perché un numero primo non ha divisori diversi da 1 e se stesso. Non può essere ulteriormente suddiviso. Non esiste un “terreno comune” condiviso di cui preoccuparsi, quindi combinali.
$2 \volte 5 = 10$
Pertanto lcm(2, 5) = 10.
Questa scorciatoia ti farà risparmiare tempo. Se nel problema trovi due numeri primi, non pensarci troppo. Moltiplicare. Ottieni immediatamente l’LCM.
Applicazione pratica: orari e cicli
Perché questo è importante al di fuori dei compiti? Pensa ai cicli.
Immagina due autobus. L’autobus A passa ogni 15 minuti. L’autobus B arriva ogni 25 minuti. Entrambi hanno appena lasciato la stazione insieme. Quando si incontreranno di nuovo?
L’hai appena calcolato. La risposta è 75 minuti.
Questa logica si applica ai rapporti di trasmissione, alle orbite planetarie e persino al ritmo della musica. Capire come interagiscono i numeri può aiutarti a prevedere quando i diversi sistemi si sincronizzeranno.
Se sei uno studente, esercitati con il metodo della scomposizione in fattori primi finché non senti che cambia automaticamente. È lo strumento più potente che hai. Funziona sia per numeri piccoli che per numeri enormi. Il metodo dell’elenco è ottimo per i principianti, ma non è scalabile.
Continua a esercitarti. Questi modelli possono sembrare familiari. Non farti prendere dal panico la prossima volta che incontri un problema LCM complesso. Lo spezzerai e basta.
Abbiamo concluso la sezione precedente prendendo i fattori dell’esponente più grande (3 e 5²) e moltiplicandoli. Questo ci dà il minimo comune multiplo (LCM) di 15 e 25 : 75. Successivamente passiamo all’applicazione vera e propria.
Per i numeri primi
Consideriamo l’esercizio 3. Abbiamo bisogno del minimo comune multiplo di 7 e 11. La risposta è 77.
Ma perché questo metodo è così semplice?
Innanzitutto, guarda i numeri. 7 e 11 sono entrambi numeri primi. Ciò significa che sono divisibili solo per se stessi e per 1. Poiché non esistono fattori comuni diversi da 1, non è necessario eseguire una fattorizzazione complessa.
Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri primi, moltiplicali.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
E’ molto semplice. Non sono necessari alberi di fattorizzazione primi. Moltiplicazione diretta di due numeri primi diversi.
Utilizzo del metodo di quotazione per set piccoli
L’esercizio 4 ti chiede di trovare il minimo comune multiplo di 4, 6 e 8. Il risultato è 24.
Poiché questi numeri sono piccoli, il metodo delle liste è più veloce del calcolo dei fattori primi. Basta scrivere i multipli di ciascun numero finché non trovi il primo numero comune.
L’elenco dovrebbe assomigliare a questo:
- Multipli di 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Multipli di 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Multipli di 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Noterai che si sovrappongono. 12 appare negli elenchi 4 e 6. 48 appare in tutti e tre. Tuttavia, vuoi il multiplo comune più piccolo. Esegui la scansione dell’elenco per trovare il primo numero visualizzato in ciascuna colonna.
Quel numero è 24.
mcm(4,6,8) = 24
Questo approccio funziona bene per i piccoli numeri interi, ma diventa noioso per i numeri grandi. Questo è il momento in cui torni alla scomposizione in fattori primi.
Fattorizzazione primi per numeri più grandi
L’esercizio 5 aumenta il livello di difficoltà. Abbiamo bisogno del MCM di 30, 45 e 54. La risposta è 270.
Se i numeri sono grandi, elencare i multipli è inefficiente. Invece, fattorizza ciascun numero separatamente. Successivamente, determina l’esponente più grande di ciascun fattore primo di qualsiasi numero.
Analizziamo ogni numero.
- 30 fattori in 2 x 3 x 5
- 45 fattori in 3² x 5
- 54 fattori in 2 x 3³
Vediamo
Il processo si semplifica nell’identificare i fattori che compongono i numeri. Como 30 y 54 solo se pueden dividir una vez por 2, ese valor se toma para el cálculo del mínimo común múltiplo (mcm). No se repite ni se eleva más allá de lo necesario.
In uguale modo, 30 e 45 hanno un fattore comune: 5. Non esiste altro numero nel contesto che pone questo fattore con un esponente sindaco. Pertanto, è anche incluso nel calcolo.
Il caso del fattore 3
Infine, los tres números comparten el factor 3. Ecco dove molte persone si confondono. 54 tiene questo fattore con l’esponente più alto (3³, o 27). Pertanto, se si utilizza questo valore specifico per calcolare il mcm, in un luogo di 3 o 3².
La regola è chiara: sempre toma la potenza più alta di ogni fattore primo.
Il calcolo finale
Con tutti gli elementi sul posto, l’operazione dovrebbe essere così:
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Il risultato è 270. Se questa è la logica per scegliere il massimo esponente, puoi applicarlo a qualsiasi congiunto di numeri. Quali altri numeri ti piacerebbe praticare con questo metodo?
