Quelle est la manière la plus équitable de diviser une cagnotte lorsqu’un jeu de hasard est interrompu en cours de route ?
Imaginez que vous et un ami pariez chacun 50 $ sur un jeu de pile ou face. Le but est d’être le premier à atteindre 10 points. Le score est actuellement de 8 à 6 en votre faveur. Soudain, une urgence oblige votre ami à partir. Vous ne voulez pas rendre leurs 50 $ parce que vous gagnez, mais ils n’accepteront pas de remettre la totalité des 100 $ car ils ont encore une chance de revenir.
Ce dilemme, connu sous le nom de « problème des points », a déconcerté les plus grands esprits mathématiques pendant plus de 150 ans. La quête pour le résoudre a finalement conduit à la naissance de la théorie des probabilités, un domaine qui régit désormais tout, du marché boursier aux primes d’assurance.
Les solutions ratées : proportion et progrès
Avant le milieu du XVIIe siècle, les mathématiciens tentaient de résoudre ce problème en utilisant une logique qui, bien qu’intuitive, était mathématiquement imparfaite.
- L’approche proportionnelle (1494) : Luca Pacioli a suggéré que les joueurs devraient partager le pot en fonction de leur score actuel. Dans notre exemple 8-6, vous prendriez 8/14 du pot (57,14 $) et votre ami prendrait 6/14 (42,86 $). Cependant, cela échoue dans les cas extrêmes : si le jeu est interrompu après un seul lancer, le gagnant remporterait la totalité du pot, même si la partie est loin d’être décidée.
- L’approche du progrès : Niccolò Fontana “Tartaglia” a tenté de résoudre ce problème en examinant à quelle distance un joueur se trouvait de la ligne d’arrivée. Il a fait valoir que la part d’un joueur devrait être basée sur sa progression par rapport au total de points nécessaires. Bien que plus équitable que la méthode de Pacioli, elle ne tient toujours pas compte de la probabilité mathématique réelle de gagner, ce qui entraîne souvent des paiements qui ne reflètent pas les véritables probabilités.
La percée : Pascal et Fermat
L’impasse a été levée dans les années 1650 lorsqu’un mondain français a demandé au mathématicien Blaise Pascal de résoudre le problème. Pascal s’est tourné vers son collègue Pierre de Fermat, et leur correspondance a changé à jamais les mathématiques.
Ils ont réalisé qu’une répartition « équitable » ne devrait pas être basée sur le score tel qu’il est, mais sur les avenirs possibles du jeu. Ils sont arrivés à la même conclusion en utilisant deux méthodes différentes et brillantes.
La méthode de Fermat : épuiser tous les futurs
Fermat a proposé d’examiner toutes les manières possibles pour que le jeu continue. S’il reste cinq lancers pour décider du jeu, il énumérera toutes les séquences possibles de pile et de face. Il a ensuite compté combien de ces séquences avaient abouti à une victoire du joueur A contre le joueur B.
Dans notre scénario 8-6, Fermat calculerait qu’il y a 32 résultats possibles pour les lancers restants. Il a constaté que le joueur A gagne dans 26 de ces scénarios. Par conséquent, le joueur A a droit à 81,25 % du pot (81,25 $).
La méthode de Pascal : le pouvoir de la valeur attendue
Même si la méthode de Fermat était précise, elle n’était pas pratique pour les longues parties. S’il restait 20 flips, vous devrez calculer plus d’un million de contrats à terme différents.
Pascal a résolu ce problème en travaillant à rebours en utilisant un concept que nous appelons désormais “valeur attendue”. Il a commencé avec le scénario le plus simple possible : si le score est à égalité (9-9), le pot est partagé 50/50. Il a ensuite reculé d’un pas : si le score est de 9 à 8, il y a 50 % de chances que le leader gagne immédiatement et 50 % de chances qu’il y ait égalité. En faisant la moyenne de ces possibilités, il pouvait calculer la valeur de n’importe quel score, étape par étape, sans avoir à énumérer chaque futur.
Pourquoi c’est important aujourd’hui
La convergence des méthodes de Pascal et Fermat a prouvé que la probabilité ne concerne pas seulement ce qui s’est produit, mais la moyenne pondérée de ce qui pourrait arriver.
Ce passage de l’observation du passé (le score actuel) au calcul des possibilités pondérées de l’avenir constitue le fondement de l’évaluation moderne des risques.
Aujourd’hui, cette logique est le moteur d’une grande partie de notre monde moderne. Lorsqu’une compagnie d’assurance calcule votre prime ou qu’un hedge fund gère un portefeuille, ils utilisent les descendants de la logique de Pascal et Fermat pour peser les pertes potentielles par rapport aux gains potentiels.
Conclusion : En tentant de régler un simple différend lié au jeu, les mathématiciens sont allés au-delà de la simple arithmétique pour découvrir les mathématiques de l’incertitude, fournissant ainsi les outils nécessaires pour naviguer dans un monde régi par le risque.
