Los números no son sólo símbolos abstractos. Son los pilares de la realidad.
Un número es cualquier número entero positivo o negativo. También puede ser cualquier número real o complejo. Los números complejos toman la forma a + bi. Aquí, a y b son números reales. La i es la raíz cuadrada de menos uno.
Cuando b es cero y a no es cero, se obtiene un número imaginario puro. Cuando a y b son distintos de cero, es un número complejo mixto.
El sistema de números reales
Los números reales son un grupo enorme. Incluyen números racionales e irracionales.
Los números racionales son sencillos. Puedes escribirlos como números enteros o como cociente de dos números enteros.
– 12 es racional.
– 13/5 es racional.
– -4/11 es racional.
Todos los números racionales también son algebraicos. Esto significa que son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales.
Los números irracionales son diferentes. No puedes expresarlos como una fracción simple. La raíz cuadrada de 2 es un ejemplo clásico. Continúa para siempre sin repetirse.
Números trascendentales explicados
No todos los números irracionales son algebraicos. Algunos no pueden ser la solución a una ecuación polinómica con coeficientes racionales. Estos son números trascendentales.
Esta distinción importa. Separa números como la raíz cuadrada de 2 de otros.
La raíz cuadrada de 2 es algebraica. Resuelve la ecuación x² = 2.
Pero muchos irracionales no resuelven tales ecuaciones.
La base del logaritmo natural, e, es trascendental. Pi, π, también es trascendental. También lo son ciertas combinaciones de estos dos.
La historia muestra que este fue un hecho difícil de probar.
Charles Hermite demostró que e era trascendental en 1873.
Ferdinand von Lindemann demostró que π era trascendental en 1882.
Ese fue el primer número que resultó trascendental.
Clases de números especiales
Más allá de las categorías principales, existen tipos específicos de números con características únicas.
Números cuadrados son números enteros que son el cuadrado de otro número entero. 9 es un número cuadrado porque 3² = 9.
Los números perfectos son raros. Son iguales a la suma de sus factores propios. Por ejemplo, 6 es perfecto. Sus factores propios son 1, 2 y 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Los números aleatorios representan resultados de procedimientos de selección aleatorios. No se definen por una fórmula sino por su método de generación.
Los números primos son números enteros mayores que 1. Sus únicos divisores positivos son 1 y ellos mismos. 2, 3, 5, 7 y 11 son primos. 4 no lo es. Es divisible por 2.
Estas clasificaciones nos ayudan a organizar el mundo infinito de los números. Proporcionan estructura. Permiten un cálculo preciso. Sin ellos, las matemáticas serían un desastre caótico.
¿Qué tipo de número utilizas con más frecuencia en la vida diaria? Probablemente racionales. Pero cuanto más profundizas, más extraño se vuelve.
