Musíte přidat zlomky. Podívejte se na jmenovatele. Jsou různé. Je to velmi nepříjemné.
Řešení spočívá v konceptu, kterého se většina studentů bojí, ale který neustále používají. Je to nejmenší společný násobek, často zkracovaný jako LCM (nebo mcm ve španělštině).
Ponechme stranou akademický žargon. Nejmenší společný násobek je nejmenší číslo, které je dělitelné dvěma nebo více celými čísly. Žádné zbytky. Prostě čisté dělení.
Co je nejmenší společný násobek?
Pokud uvidíte záznam NOK(a, b) = x, nepropadejte panice. Jednoduše to znamená:
- a a b jsou původní čísla (přirozená čísla).
- x je nejmenší výsledek, který je dělitelný oběma čísly a a b.
Vezměme si jako příklad čísla 2 a 3.
Uveďme násobky 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Uveďme násobky 3: 3, 6, 9, 12, 15…
Podívejte se, kde se vaše seznamy překrývají. První číslo v obou seznamech je 6.
Proto NOK(2, 3) = 6.
Toto můžete rozšířit na libovolný počet čísel. Standardem jsou dvě nebo tři čísla, ale logika platí i pro čtyři, pět nebo více čísel. Cíl je stejný: najít nejmenší společný násobek.
Proč to potřebujeme?
Toto je více než jen matematické cvičení. Nejmenší společný násobek má jednu důležitou praktickou aplikaci: sčítání a odčítání zlomků.
1/2 a 1/3 nelze přidat přímo. Jmenovatelé jsou různí. Abychom tento problém vyřešili, musíme najít společného jmenovatele. Nejchytřejší volba? Nejmenší společný násobek těchto jmenovatelů. Udržujte čísla malá a výpočty efektivnější.
Tři způsoby výpočtu nejmenšího společného násobku
Neexistuje žádná „správná“ cesta. Prostě to, co nejlépe vyhovuje vašemu myšlení. Zde jsou tři nejúčinnější metody.
1. Hledání násobků
Toto je nejintuitivnější metoda pro začátečníky.
- Zapište si násobky prvního čísla.
- Zapište násobky druhého čísla.
- Najděte první číslo, které se nachází v obou seznamech.
4 a 6 :
* Násobky 4: 4, 8, 12, 16…
* Násobky 6: 6, 12, 18…
První shoda je 12. Proto NOK(4, 6) = 12.
Tato metoda funguje dobře pro malá čísla. Pokud jsou čísla velká, nebude to fungovat.
2. Prvotřídní faktorizace
Toto je účinný přístup. Dá se rozšířit.
- Rozdělte každé číslo na prvočinitele.
- Vezměte všechny jedinečné prvočinitele ze seznamu.
- Pro každý prvočíselný faktor použijte nejvyšší možnou mocninu.
- Vynásobte je.
NOK(12,
Najít nejmenší společný násobek nemusí být tak obtížné jako řešení složitých rovnic. Je důležité, aby studenti a rodiče porozuměli tomuto konceptu pomocí identifikace číselných vzorců. Můžete si vybrat metodu, která nejlépe vyhovuje číslům, se kterými pracujete.
Výpis násobků malých čísel
Metoda výčtu je nejvhodnější pro práci s malými, zvládnutelnými celými čísly. Vezměme dvě čísla, například 3 a 4, a zapišme jejich násobky vzestupně.
Násobky 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Násobky 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Hledejte zápasy. Oba seznamy obsahují číslo 12. Chceme nejmenší společný násobek, takže se zastavíme.
NOK(3; 4) = 12
Je to velmi jednoduché. Ale co se stane, když se čísla zvýší?
Prvotřídní faktorizace pro velká čísla
S přibývajícími čísly je únavné vypisovat jejich násobky. Další metoda používá prvočíselné rozklady. Rozdělte čísla na jednoduché části.
Začněme 12 a 16. Vydělte tato čísla nejmenším prvočíslem, 2. Pokračujte v dělení 2, dokud není výsledkem celé číslo.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
Nelze dělit 3 krát 2 beze zbytku. Přejděte na další prvočíslo, kterým je 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Tento proces pokračuje, dokud není výsledek 1. Porovnáním prvočinitelů můžete určit nejmenší společný násobek, aniž byste museli vypisovat nekonečnou posloupnost čísel.
Najděte nejmenší společný násobek (LCM) čísel 15 a 25
Při práci s velkými čísly se vypisování násobků stává únavným. Proto je zde metoda faktorizace tak účinná. Pojďme si rozebrat čísla 15 a 25 a uvidíme, z čeho se skládají.
Začněme číslem 15. Snadno se rozloží na 3 a 5. Oba faktory jsou prvočísla.
Nyní zvažte číslo 25. Je rovno 5 krát samo sobě, neboli $5^2$.
Cílem je vybrat nejvyšší mocninu každého prvočinitele ze všech uvažovaných čísel.
Pro původní faktor 3 se vyskytuje pouze v prvním čísle (15). Proto zařazujeme 3.
Pro prvočinitel 5: v čísle 15 je reprezentován jako $5^1$ a v čísle 25 je reprezentován jako $5^2$. Nejvyšší mocnina je 2. Vezmeme tedy $5^2$ (neboli 25).
Vynásobme výsledné faktory:
$3\krát 25 = $75
Tedy NOK(15; 25) = 75.
Tato metoda funguje, protože každé z původních čísel dělí výsledný výsledek celým číslem. Je to rychlejší než vytváření dlouhých seznamů násobků, zvláště pokud mají čísla více než tři číslice.
Pro prvočísla
Co kdybyste byli požádáni, abyste našli nejmenší společný násobek dvou prvočísel? Například 2 a 5?
Je to jednoduché. Jen je potřeba je namnožit. Proč? Protože prvočíslo nemá žádné jiné dělitele než 1 a samo sebe. Nelze jej dále rozšiřovat. Neexistuje žádná společná „základna“, kterou bychom měli zvážit, takže je pouze kombinujeme.
$2 \krát 5 = 10 $
Tedy NOK(2, 5) = 10.
Tento tip vám ušetří čas. Pokud jsou v problému dvě prvočísla, neměli byste příliš dlouho přemýšlet. Stačí je namnožit. Okamžitě obdržíte NOC.
Praktická aplikace: Jízdní řády a cykly
Proč je to důležité mimo domácí úkoly? Myslete na cykly.
Představte si dva autobusy. Autobus A odjíždí každých 15 minut. Autobus B přijíždí každých 25 minut. Oba právě opustili stanici ve stejnou dobu. Kdy se znovu setkají?
Právě jsi na to přišel. Odpověď: za 75 minut.
Tato logika platí pro převodové poměry ve strojích, oběžné dráhy planet a dokonce i rytmus hudby. Pochopení toho, jak čísla interagují, pomáhá předvídat, kdy se různé systémy synchronizují.
Pokud jste student, praktikujte faktoringovou metodu, dokud se pro vás nestane automatickou. Je to nejmocnější nástroj, který máte. Funguje pro malá i velmi velká čísla. Iterování po násobcích je dobré pro začátečníky, ale neškáluje.
Pokračujte ve cvičení. Tyto vzory se vám mohou zdát známé. Nepropadejte panice, až budete příště čelit obtížnému problému LOC. Jednoduše vypočítáte čísla.
V předchozí části jsme dokončili diskuzi tím, že jsme vzali faktory s největšími exponenty (3 a 5²) a vynásobili je. To nám dalo nejmenší společný násobek (LCM) 15 a 25: 75. Dále přejdeme k praktickým aplikacím.
Pro prvočísla
Podívejme se na cvičení 3. Musíme najít nejmenší společný násobek čísel 7 a 11. Odpověď je 77.
Ale proč je tato metoda tak jednoduchá?
Nejprve se podívejte na čísla. 7 a 11 jsou obě prvočísla. To znamená, že jsou dělitelné pouze samy sebou a 1. Protože neexistují žádné jiné společné faktory než 1, není třeba provádět složité faktorizace.
Chcete-li najít nejmenší společný násobek dvou prvočísel, vynásobte je.
NOK(7; 11) = 7 x 11 = 77
Je to velmi jednoduché. Nejsou potřeba žádné primární faktorizační stromy. Stačí přímé násobení dvou různých prvočísel.
Použití metody výčtu pro malé sady čísel
Cvičení 4 vás požádá, abyste našli nejmenší společný násobek čísel 4, 6 a 8. Výsledkem je 24.
Protože jsou tato čísla malá, metoda výčtu je rychlejší než výpočet prvočinitelů. Stačí si zapsat násobky každého čísla, dokud nenajdete první společné číslo.
Seznam by měl vypadat takto:
- Násobky 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Násobky 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Násobky 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Všimnete si, že se překrývají. 12 se objeví v seznamech pro 4 a 6. 48 se objeví ve všech třech seznamech. Potřebujete však nejmenší společný násobek. Prohlédněte si seznam a najděte první číslo, které se objeví v každém sloupci.
Toto číslo je 24.
NOK(4; 6; 8) = 24
Tento přístup funguje dobře pro malá celá čísla, ale pro větší čísla se stává únavným. Tehdy se vrátíte k faktoringu.
Prvotřídní faktorizace pro velká čísla
Cvičení 5 zvyšuje úroveň obtížnosti. Potřebujeme najít LCM čísel 30, 45 a 54. Odpověď je 270.
Pokud jsou čísla velká, je vypisování násobků neúčinné. Místo toho faktorujte každé číslo zvlášť. Poté určete největší exponent pro každý prvočinitel ze všech čísel.
Pojďme rozebrat každé číslo.
- 30 se rozkládá na 2 x 3 x 5
- 45 se zvětší na 3² x 5
- 54 rozkládací na 2 x 3³
Podívejme se
Proces je zjednodušen identifikací společných prvočísel mezi čísly. Protože 30 a 54 lze 2 vydělit pouze jednou, použije se tato hodnota k výpočtu nejmenšího společného násobku (LCM). Neopakuje se ani nezvyšuje na vyšší stupeň, než je nutné.
Stejně tak 30 a 45 mají společný násobitel: 5. Žádné jiné číslo v souboru tento faktor ve větší míře neobsahuje. Proto je také zahrnut do výpočtu.
Případ multiplikátoru 3
Konečně, všechna tři čísla mají společný faktor 3. To je místo, kde se mnoho lidí plete. U čísla 54 má tento faktor nejvyšší stupeň (3³, tedy 27). Proto se pro výpočet LCM používá tato hodnota, nikoli 3 nebo 3².
Pravidlo je jasné: vždy berte nejvyšší mocninu každého prvočinitele.
Konečný výpočet
Když se vezmou v úvahu všechny prvky, operace vypadá takto:
NOK(30; 45; 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Výsledek je 270. Pokud se budete řídit touto logikou pro volbu maximálního výkonu, můžete ji použít na libovolnou sadu čísel. Jaká další čísla byste chtěli touto metodou procvičovat?
