Tienes que sumar fracciones. Estás mirando el denominador. son diferentes. Esto es muy molesto.
La solución radica en un concepto que la mayoría de los estudiantes temen, pero en el que en realidad confían todo el tiempo. Este es el mínimo común múltiplo, a menudo abreviado LCM o mcm en español.
Dejemos de lado la jerga académica. El Mínimo Común Múltiplo es el número más pequeño que es divisible por dos o más números enteros. Sin restos. Simplemente división limpia.
¿Cuál es el mínimo común múltiplo?
No entre en pánico si ve mcm(a, b) = x. Simplemente significa:
- a y b son números iniciales (números naturales).
- x es el resultado más pequeño que es divisible tanto por a como por b.
Tomemos como ejemplo los números 2 y 3.
Enumera los múltiplos del número 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Enumera los múltiplos del número 3: 3, 6, 9, 12, 15…
Vea dónde se superponen sus listas. El primer número que aparece en ambas listas es 6.
Por lo tanto mcm(2, 3) = 6.
Puedes ampliar esto tanto como necesites. Dos o tres números son estándar, pero la lógica también se aplica a cuatro, cinco o más números. El objetivo es el mismo, encontrar el múltiplo compartido más pequeño.
¿Por qué necesitamos esto?
Esto es más que un simple ejercicio matemático. Mínimo común múltiplo tiene una importante aplicación en el mundo real: suma y resta de fracciones.
1/2 y 1/3 no se pueden sumar directamente. El denominador es diferente. Para resolver este problema, necesitamos encontrar un denominador común. ¿La elección más inteligente? El mínimo común múltiplo de estos denominadores. Mantenga los números pequeños y los cálculos más eficientes.
Tres formas de calcular el mínimo común múltiplo
No existe una única manera “correcta”. Justo lo que funciona para el cerebro. Éstos son los tres métodos más eficaces.
1. Listado de múltiplos
Este es el método más intuitivo para principiantes.
- Escribe el múltiplo del primer número.
- Escribe el múltiplo del segundo número.
- Encuentra el primer número en ambas listas.
4 y 6 :
* Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16…
* Múltiplos de 6: 6, 12, 18…
La primera coincidencia es 12. Por lo tanto mcm(4, 6) = 12.
Esto funciona bien para números pequeños. Si el número es grande, fallará.
2. Factorización prima
Este es un enfoque eficaz. Se puede ampliar.
- Descompone cada número en sus factores primos.
- Obtenga todos los números primos únicos de la lista.
- Usa la potencia más alta encontrada para cada factor primo.
- Multiplícalos juntos.
**mcm(12,
Encontrar el mínimo común múltiplo no tiene por qué ser como resolver ecuaciones complejas. Identificar patrones numéricos es importante para que los estudiantes y los padres comprendan este concepto. Puedes elegir el método que se adapte a los números con los que estás tratando.
Enumerar múltiplos de números pequeños
El método de listado es mejor para trabajar con números enteros pequeños y manejables. Toma dos números, digamos 3 y 4, y escribe sus múltiplos en orden.
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Busque duplicados. Ambas listas tienen 12. Necesitamos el mínimo común múltiplo, así que nos detendremos ahí.
mcm(3, 4) = 12
Es muy sencillo. ¿Pero qué pasa cuando el número aumenta?
Factorización prima para números más grandes
A medida que los números crecen, resulta tedioso enumerar varios. Otro método utiliza la factorización prima. Divide los números en sus componentes principales.
Comienza con 12 y 16. Divídelos por el número primo más pequeño, 2. Continúa dividiendo entre 2 hasta que el resultado sea un número entero.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
No se puede dividir 3 entre 2 en partes iguales. Pasa al siguiente número primo, que es 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Este proceso continúa hasta llegar a 1. Al comparar los factores primos, puedes determinar el mínimo común múltiplo sin tener que enumerar una serie interminable de números.
Encuentra el mínimo común múltiplo de 15 y 25
Cuando se trata de números grandes, enumerar múltiplos se vuelve tedioso. Por eso la factorización prima es tan poderosa aquí. Desglosemos 15 y 25 y veamos qué hay debajo.
Comience con el número 15. Esto se divide claramente en 3 y 5 . Ambos son primos.
Ahora mira 25. Es 5** multiplicado por sí mismo, o $5^2$.
El objetivo es seleccionar la potencia más alta de cada elemento de la lista.
Con el número inicial 3, ocurre sólo en el primer número (15). Por eso presentamos 3.
Para el número primo 5, 15 tiene $5^1$ y 25 tiene $5^2$. El exponente más alto es 2. Por lo tanto, tomamos $5^2$ (o 25).
Multiplica estos juntos:
$3 \veces 25 = 75$
Por lo tanto lcm(15, 25) = 75.
Este método funciona porque cada número original divide el resultado en partes iguales. Es más rápido que escribir largas listas de múltiplos, especialmente si el número tiene más de 3 dígitos.
Para números primos
¿Qué pasaría si te pidieran encontrar el mínimo común múltiplo de dos números primos? ¿Como 2 y 5?
Es fácil. Simplemente multiplícalos. ¿Por qué? Esto se debe a que un número primo no tiene más divisores que 1 y él mismo. No se puede dividir más. No hay “puntos en común” compartidos por los que preocuparse, así que combínelos.
$2 \veces 5 = 10$
Por lo tanto lcm(2, 5) = 10.
Este atajo le ahorrará tiempo. Si encuentras dos números primos en el problema, no pienses demasiado en ello. Multiplicar. Obtienes el LCM inmediatamente.
Aplicación práctica: Horarios y ciclos
¿Por qué es esto importante fuera de la tarea? Piense en ciclos.
Imagínese dos autobuses. El autobús A pasa cada 15 minutos. El autobús B llega cada 25 minutos. Ambos acaban de salir juntos de la estación. ¿Cuándo se volverán a encontrar?
Acabas de calcular eso. La respuesta es 75 minutos.
Esta lógica se aplica a las relaciones de transmisión, las órbitas planetarias e incluso al ritmo de la música. Comprender cómo interactúan los números puede ayudarle a predecir cuándo se sincronizarán los diferentes sistemas.
Si eres estudiante, practica el método de factorización prima hasta que sientas que cambia automáticamente. Es la herramienta más poderosa que tienes. Funciona tanto para números pequeños como para números grandes. El método de lista es excelente para principiantes, pero no es escalable.
Sigue practicando. Estos patrones pueden parecer familiares. No entre en pánico la próxima vez que se encuentre con un problema complejo de LCM. Simplemente lo romperás.
Concluimos la sección anterior tomando los factores exponentes más grandes (3 y 5²) y multiplicándolos. Esto nos da el mínimo común múltiplo (MCM) de 15 y 25: 75. A continuación, pasamos a la aplicación real.
Para números primos
Veamos el ejercicio 3. Necesitamos el mínimo común múltiplo de 7 y 11. La respuesta es 77.
Pero ¿por qué este método es tan fácil?
Primero, mire los números. El 7 y el 11 son números primos. Esto significa que solo son divisibles por sí mismos y por 1. Como no hay factores comunes distintos de 1, no es necesario realizar una factorización compleja.
Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números primos, multiplícalos.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
Es muy sencillo. No se necesitan árboles de factorización prima. Multiplicación directa de dos números primos diferentes.
Uso del método de listado para conjuntos pequeños
El ejercicio 4 te pide que encuentres el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8. El resultado es 24.
Dado que estos números son pequeños, el método de lista es más rápido que calcular factores primos. Simplemente escribe los múltiplos de cada número hasta encontrar el primer número común.
La lista debería verse así:
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Notarás que se superponen. 12 aparece en las listas 4 y 6. 48 aparece en los tres. Sin embargo, desea el múltiplo común más pequeño. Escanee la lista para encontrar el primer número que aparece en cada columna.
Ese número es 24.
mmcm(4,6,8) = 24
Este enfoque funciona bien para números enteros pequeños, pero resulta tedioso para números grandes. Ahí es cuando vuelves a la factorización prima.
Factorización prima para números más grandes
El ejercicio 5 aumenta el nivel de dificultad. Necesitamos el MCM de 30, 45 y 54. La respuesta es 270.
Si los números son grandes, enumerar múltiplos es ineficiente. En su lugar, factoriza cada número por separado. Luego, determina el exponente más grande de cada factor primo de cualquier número.
Desglosemos cada número.
- 30 factores en 2 x 3 x 5
- 45 se factorizan en 3² x 5
- 54 se factoriza en 2 x 3³
veamos
El proceso se simplifica al identificar los factores primos que comparten los números. Como 30 y 54 solo se pueden dividir una vez por 2, ese valor se toma para el cálculo del mínimo común múltiplo (mcm). No se repite ni se eleva más allá de lo necesario.
De igual manera, 30 y 45 tienen un factor común: 5. No existe otro número en el conjunto que posea este factor con un exponente mayor. Por eso, también se incluye en el cálculo.
El caso del factor 3
Finalmente, los tres números comparten el factor 3. Aquí es donde mucha gente se confunde. 54 tiene este factor con el exponente más alto (3³, o 27). Por lo tanto, se usa ese valor específico para calcular el mcm, en lugar de 3 o 3².
La regla es clara: siempre toma la potencia más alta de cada factor primo.
El cálculo final
Con todos los elementos en su lugar, la operación queda así:
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
El resultado es 270. Si sigues esta lógica de elegir el exponente máximo, puedes aplicarlo a cualquier conjunto de números. ¿Qué otros números te gustaría practicar con este método?
