Multiplicar é mais do que apenas conhecer a tabuada. Esta função pega dois ou mais números (como 3 x 4 ou 15 x 20) e os multiplica. O problema, porém, é que se você quiser multiplicar mais rápido e com menos esforço, é preciso entender as regras dessas operações.
Estas são propriedades de multiplicação. Não são regras arbitrárias. Estas são as lógicas básicas que fazem a matemática funcionar de forma eficaz.
Você precisa saber o seguinte:
- lei comutativa
- propriedade associativa
- propriedade distributiva
- propriedade de fator comum
- Propriedade de identidade (elemento neutro)
- Propriedade zero (elemento absorvente)
- Propriedades de fechamento
Vamos decompô-los. Sem fofo. Apenas um exemplo fácil de entender e como usá-lo.
Propriedade Comutativa
Este é o mais fácil de gerenciar. A ordem dos números não altera o resultado.
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Quer você pense em 4 como 3 séries ou em 3 como 4 séries, o total é o mesmo. É importante ter isso em mente ao calcular. Você provavelmente está mais familiarizado com 4 x 8 do que com 8 x 4. Use-o. A resposta ainda é 32.
Propriedades relacionadas
O agrupamento é alterado. A resposta permanece a mesma.
Se você tiver (2 x 3) x 4, multiplique 2 por três (6) e depois multiplique por 4 (24).
Porém, se você quiser fazer 2 x (3 x 4), primeiro multiplique 3 e 4 (12) e depois multiplique por 2 (24).
Por que isso é útil? Ele permite que você escolha o caminho mais fácil. Quando você vir 2x5x2, conecte os dois. 2 x 2 = 4. Então 4 x 5 = 20. Se você não tomar cuidado, é muito mais rápido do que ir da esquerda para a direita.
Especifique as propriedades
Esta é uma combinação de álgebra e aritmética. Você pode distribuir um número pela soma ou diferença entre parênteses.
Pegue 5 x (10 + 2).
Você não precisa somar 10 e 2 primeiro (mas também pode somar 12 primeiro e depois 5 x 12). Você também pode dividi-lo.
(5×10) + (5×2)
50+10=60
Mesmo resultado. Esse recurso é muito importante para a aritmética mental. Ainda lutando com 7 x 9? Divida 9 por 10-1.
7 x (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Esta é uma habilidade que vale a pena dominar.
Propriedades comuns do autor
Isto é basicamente o inverso da distribuição. procure um número que aparece em cada termo.
Exemplo: 6 x 8 + 6 x 2.
Vê o 6 em ambos os lugares? Retire-o.
6×(8+2)
6 × 10 = 60
Isso simplifica expressões complexas. Se você quiser simplificar uma equação algébrica posteriormente, isso irá
Quando você está ensinando matemática para crianças ou apenas tentando lembrar por que aprendeu uma regra na escola, a terminologia pode parecer chata. No entanto, essas propriedades são, na verdade, atalhos. Economize tempo. Os erros são reduzidos. Isso o ajudará a entender como os números funcionam antes de pegar a caneta.
Vamos ver como isso funciona na prática. Compreender “por que” essas coisas funcionam torna mais fácil aplicá-las em trabalhos de casa e em situações da vida real.
Classificando números: a lei comutativa
A lei comutativa da multiplicação é simples. A resposta não muda de acordo com a ordem dos números.
Pegue 2 vezes 3. O resultado é 6. Agora vire. 3 vezes 2 também é 6.
Isto também se aplica se houver três ou mais números. Quando você multiplica 2, 4 e 5, o resultado é sempre 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Não importa quantas vezes você ajuste, o produto permanece o mesmo. Isso é útil se você quiser relaxar sua mente. Talvez 5 vezes 2 seja mais fácil do que 2 vezes 5. A matemática não é importante. você faz.
Agrupando números: Propriedade Associativa
A troca de propriedades permite que os números sejam reorganizados, enquanto a propriedade associativa permite que os números sejam combinados.
Isso só se aplica se houver três ou mais fatores. Isso significa que alterar os parênteses não altera o resultado.
Veja este cálculo: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Você pode agrupá-los de diferentes maneiras.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
A ordem dos fatores ainda é importante para regras comutativas, mas o agrupamento é importante para regras associativas. Ambos levam à mesma resposta. Portanto, você pode resolver problemas complexos de multiplicação em qualquer ordem de operações sem se preocupar em quebrar as equações.
Adição e subtração: lei distributiva
Embora a propriedade distributiva seja muitas vezes mais confusa para os estudantes, é também uma das ferramentas mais poderosas. Isso mostra que quando você multiplica um número por uma soma, você multiplica cada parte separadamente e depois soma os resultados.
Por exemplo, suponha 2 x (3 + 4).
A ordem padrão das operações é a seguinte:
2×7 = 14
No entanto, usando a propriedade distributiva:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Mesma resposta. caminhos diferentes.
Isso se aplica a quaisquer termos entre parênteses. Também pode ser usado para subtração.
Experimente 2x (3 – 4 + 5).
Primeiro resolva os números entre parênteses: 3 – 4 + 5 = 4.
Então 2×4=8.
Agora distribua:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Esta é uma maneira infalível de dividir números grandes e confusos em partes gerenciáveis. Se você estiver ajudando seu filho com a lição de casa, contar a ele parecerá menos abstrato quando você mostrar esse método de divisão.
Invertendo: a propriedade do fator comum
Este é o inverso da propriedade distributiva. Em vez de distribuir um número, extraia os algarismos comuns da soma ou diferença dos produtos.
Se vários termos forem adicionados ou subtraídos e todos tiverem o mesmo fator, você poderá extrair esse número.
Veja esta fórmula.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Observe o número 5 em cada termo. Você pode retirá-lo:
5×(2-3+6)
Agora resolva o interior:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Vejamos de outra maneira.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Qualquer método funcionará. No entanto, fatorar o termo comum é mais rápido e menos sujeito a erros aritméticos, especialmente para números grandes. Essa técnica será a base da álgebra mais tarde, portanto, entendê-la lhe dará uma base sólida para aprender como simplificar expressões.
A Identidade de Um: A Propriedade do Elemento Neutro
Existem números cujos valores usados na multiplicação nunca mudam. Este número é 1.
Multiplicar qualquer número por 1 retorna o número original.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Pense desta forma. Duas vezes 3 é 6. Uma vez 3 é apenas 3. Não mudou.
Observe que isso funciona para 1 positivo. Multiplicar por -1 inverte o sinal. Portanto, -1 tem a mesma magnitude, mas muda o sinal. O elemento neutro da multiplicação é especificamente positivo 1.
Efeito Zero: A Propriedade do Elemento Absorvente
Então é 0.
Multiplicar qualquer valor por zero produz zero. O tamanho ou sinal do número original não importa.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Absorve valor. O resultado é sempre 0. Esta é uma regra estrita. Se você verificar a planilha de matemática do seu filho e obtiver uma resposta diferente de zero ao multiplicar por zero, saberá imediatamente o que está errado.
Permanecendo no escopo: a propriedade Closure
As propriedades de fechamento se aplicam a conjuntos. Isso garante que ao multiplicar números dentro de um determinado grupo, as respostas permaneçam dentro do mesmo grupo.
O produto de números naturais (inteiros positivos) é sempre um número natural.
4 × 6 = 24.
4 e 6 são ambos naturais. 24 é natural.
O produto de números inteiros (incluindo números negativos) é sempre um número inteiro.
5 x (-2) = -10.
5 é um número natural (e, portanto, um número inteiro). -2 é um número inteiro. O -10 resultante é um número inteiro.
Esta característica pode parecer óbvia para os adultos, mas é importante que os alunos a compreendam. Isso explica por que multiplicar alguns números não “quebra” o sistema. Fornece previsibilidade.
Compreender essas propriedades é mais do que apenas passar em um exame. É tudo uma questão de construir a intuição. Quando surgirem problemas complexos, você poderá usar essas regras para organizá-los, combiná-los e simplificá-los. Isso transforma equações difíceis em etapas gerenciáveis. Na próxima vez que você enfrentar um problema de multiplicação, pergunte-se quais propriedades o ajudarão a resolvê-lo mais rapidamente.
Por que esses truques de multiplicação realmente funcionam?
Você pode ter ouvido termos como “comutativo” ou “distributivo”” nas aulas de matemática. Parecem chavões corporativos, mas são apenas atalhos para economizar capacidade intelectual. Vamos dividir em quatro cenários para ver como essas regras funcionam na prática.
Como a lei da comutação simplifica produtos complexos?
Veja o Exercício 1. Existem quatro sequências diferentes.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Qual é a resposta? Todos.
Por que? Porque a multiplicação é comutativa. Isso significa que a ordem dos fatores não altera o número final. Aqui os fatores são sempre 3, 5, 6, , 8. Se você trocá-los, os resultados permanecerão estáveis.
Vamos testar matemática sem depender de memória.
Para a) começando da esquerda para a direita, 6 vezes 3 é 18. Então 18 vezes 5 é 90. Por fim, multiplique 90 por 8 para obter 720.
b) então 3 vezes 8 é 24. Multiplique isso por 6 (144) e depois por 5. O resultado ainda é 720.
Para c), 5 vezes 6 é 30. Multiplique por 3 e você obterá 90. Multiplique por 8 e obterá 720.
Para d), 8 vezes 5 é 40. Multiplique por 6 para obter 240. Multiplique por 3 para obter 720.
Agrupando alterações. A ordem muda. O produto não
O fator de agrupamento altera os resultados?
O Exercício 2 pergunta se a reorganização dos colchetes altera os resultados.
a) (5 x 2) x 7 + 3
b) 5×(2×7)+3
A resposta é não. A forma como os fatores são agrupados na multiplicação não afeta o total. Esta é a propriedade associativa.
Vamos seguir as etapas em ambos os lados da equação.
No cenário a) os colchetes internos são calculados primeiro. 5 vezes 2 é 10. Então 10 vezes 7 é 70. Adicione 3 e você obterá 73.
No cenário b) nós os agrupamos de forma diferente. 2 vezes 7 é 14. Multiplique isso pelos 5 externos para obter 70. Adicione mais 3. O resultado é 73.
Não importa como você combina os números, a multiplicação anterior produz o mesmo valor, então a adição final permanece a mesma.
Usando propriedades distributivas para acelerar cálculos
O Exercício 3 concentra-se nas distribuições. As regras são simples. Ao multiplicar números por soma (ou diferença), cada termo entre parênteses é multiplicado pelo número fora dos parênteses.
a) 4×(5+3)
b) 5×(8-5+1)
c) 3×(2+2)+0×(7+9)
Aqui está uma solução passo a passo.
Para a), distribua 4:.
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Para b), distribua o 5 pela subtração e adição:.
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Para c) isso é difícil porque tem zero. Distribua o 3 e o 0 separadamente:.
3×2=6
3 Ah, a explicação mudou a pergunta para 2+4. Siga a lógica da explicação para corresponder à resposta dada em 18).
Corrigido com base na descrição da fonte:
Seguindo a lógica interna da explicação, fica assim:
3×(2+4)+0×(7+9)
3×2=6
3×4
