Vermenigvuldigen is meer dan alleen de tafel van vermenigvuldiging kennen. Deze functie neemt twee of meer getallen (zoals 3 x 4 of 15 x 20) en vermenigvuldigt deze. Het probleem is echter dat als je sneller wilt vermenigvuldigen met minder inspanning, je de regels voor deze bewerkingen moet begrijpen.
Dit zijn vermenigvuldigingseigenschappen. Het zijn geen willekeurige regels. Dit zijn de basislogica’s die ervoor zorgen dat wiskunde effectief werkt.
U moet het volgende weten:
- commutatief recht
- associatieve eigenschap
- distributieve eigendom
- gemeenschappelijke factoreigenschap
- Identiteit (neutraal element) eigendom
- Nul (absorberend element) eigendom
- Sluitingseigenschappen
Laten we ze afbreken. Geen pluis. Gewoon een gemakkelijk te begrijpen voorbeeld en hoe het te gebruiken.
Commutatieve eigenschap
Dit is het gemakkelijkst te beheren. De volgorde van de getallen verandert niets aan het resultaat.
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Of je nu denkt aan 4 als 3 sets of 3 als 4 sets, het totaal is hetzelfde. Dit is belangrijk om in gedachten te houden bij het berekenen. U bent waarschijnlijk meer bekend met 4 x 8 dan met 8 x 4. Gebruik het. Het antwoord is nog steeds 32.
Gerelateerde eigendommen
De groepering is gewijzigd. Het antwoord blijft hetzelfde.
Als je (2 x 3) x 4 hebt, vermenigvuldig dan 2 met drie (6) en vermenigvuldig dan met 4 (24).
Als je echter 2 x (3 x 4) wilt maken, vermenigvuldig dan eerst 3 en 4 (12) en vermenigvuldig dan met 2 (24).
Waarom is dit nuttig? Hiermee kunt u de gemakkelijkste weg kiezen. Als je 2x5x2 ziet, verbind je de twee. 2 x 2 = 4. Dan 4 x 5 = 20. Als je niet oppast, is het veel sneller dan van links naar rechts gaan.
Specificeer de eigenschappen
Dit is een combinatie van algebra en rekenen. U kunt één getal verdelen over de som of het verschil tussen haakjes.
Neem 5 x (10 + 2).
Je hoeft niet eerst 10 en 2 op te tellen (maar je kunt ook eerst 12 optellen en dan 5 x 12). Je kunt het ook splitsen.
(5×10) + (5×2)
50+10=60
Hetzelfde resultaat. Deze functie is erg belangrijk voor hoofdrekenen. Heb je nog steeds moeite met 7 x 9? Verdeel 9 in 10-1.
7 x (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Dit is een vaardigheid die de moeite waard is om te beheersen.
Gemeenschappelijke auteurseigenschappen
Dit is feitelijk een omgekeerde distributie. zoek naar een getal dat in elke term voorkomt.
Voorbeeld: 6 x 8 + 6 x 2.
Zie je de 6 op beide plekken? Trek het eruit.
6×(8+2)
6 × 10 = 60
Dit vereenvoudigt complexe uitdrukkingen. Als u later een algebraïsche vergelijking wilt vereenvoudigen, kunt u dit doen
Als je kinderen wiskunde leert of gewoon probeert te onthouden waarom je een regel op school hebt geleerd, kan de terminologie saai lijken. Deze eigenschappen zijn echter eigenlijk snelkoppelingen. Bespaar tijd. Fouten worden verminderd. Deze zullen u helpen begrijpen hoe de cijfers werken voordat u de pen oppakt.
Laten we eens kijken hoe deze in de praktijk werken. Door te begrijpen ‘waarom’ deze dingen werken, wordt het makkelijker om ze toe te passen op huiswerk en op situaties in het echte leven.
Getallen sorteren: de commutatieve wet
De commutatieve wet van vermenigvuldiging is eenvoudig. Het antwoord verandert niet afhankelijk van de volgorde van de getallen.
Neem 2 keer 3. Het resultaat is 6. Draai het nu om. 3 keer 2 is ook 6.
Dit geldt ook als er drie of meer cijfers zijn. Als je 2, 4 en 5 vermenigvuldigt, is het resultaat altijd 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Hoe vaak je ook aanpast, het product blijft hetzelfde. Dit is handig als u uw geest wilt geruststellen. Misschien is 5 keer 2 gemakkelijker dan 2 keer 5. De wiskunde is niet belangrijk. jij wel.
Groeperingsnummers: associatieve eigenschap
Door eigenschappen te verwisselen kunnen getallen opnieuw worden gerangschikt, terwijl associatieve eigenschappen het mogelijk maken getallen te combineren.
Dit geldt alleen als er sprake is van drie of meer factoren. Dit betekent dat het wijzigen van de haakjes het resultaat niet verandert.
Kijk eens naar deze berekening: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Je kunt ze op verschillende manieren groeperen.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
De volgorde van de factoren is nog steeds belangrijk voor commutatieve regels, maar groepering is belangrijk bij associatieve regels. Beide leiden tot hetzelfde antwoord. Daarom kunt u complexe vermenigvuldigingsproblemen in elke volgorde van bewerkingen oplossen zonder dat u zich zorgen hoeft te maken over het verbreken van de vergelijkingen.
Optellen en aftrekken: distributieve wet
Hoewel distributieve eigendommen vaak verwarrender zijn voor leerlingen, zijn ze ook een van de krachtigste hulpmiddelen. Dit laat zien dat wanneer je een getal met een som vermenigvuldigt, je elk deel afzonderlijk vermenigvuldigt en vervolgens de resultaten optelt.
Stel bijvoorbeeld 2 x (3 + 4).
De standaardvolgorde van bewerkingen is als volgt:
2×7 = 14
Echter, met behulp van de distributieve eigenschap:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Hetzelfde antwoord. verschillende paden.
Dit geldt voor alle termen tussen haakjes. Het kan ook worden gebruikt voor aftrekken.
Probeer 2x (3 – 4 + 5).
Los eerst de getallen tussen haakjes op: 3 – 4 + 5 = 4.
Dan is 2×4=8.
Verdeel nu:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Dit is een trefzekere manier om grote, verwarrende getallen in hanteerbare brokken op te splitsen. Als u uw kind helpt met huiswerk, zal het vertellen ervan minder abstract lijken als u hem deze splitsmethode laat zien.
Terugdraaien: de gemeenschappelijke factor-eigenschap
Dit is het omgekeerde van de distributieve eigenschap. In plaats van een getal te verdelen, haalt u de gemeenschappelijke cijfers uit de som of het verschil van de producten.
Als er meerdere termen worden opgeteld of afgetrokken en ze hebben allemaal dezelfde factor, dan kun je dat getal extraheren.
Kijk naar deze formule.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Noteer het getal 5 in elke term. Je kunt het eruit trekken:
5×(2-3+6)
Los nu de binnenkant op:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Laten we naar een andere manier kijken.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Beide methoden zullen werken. Het uitsluiten van de algemene term is echter sneller en minder gevoelig voor rekenfouten, vooral bij grote aantallen. Deze techniek zal later de basis vormen voor de algebra, dus als je deze techniek begrijpt, heb je een solide basis om te leren hoe je uitdrukkingen kunt vereenvoudigen.
De identiteit van één: de neutrale elementeigenschap
Er zijn getallen waarvan de waarden die bij vermenigvuldiging worden gebruikt, nooit veranderen. Dit getal is 1.
Als u een willekeurig getal met 1 vermenigvuldigt, wordt het oorspronkelijke getal geretourneerd.
- 3×1=3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Denk er zo over na. Twee keer 3 is 6. Eén keer 3 is gewoon 3. Niet veranderd.
Merk op dat dit werkt voor een positieve 1. Vermenigvuldigen met -1 keert het teken om. Daarom heeft -1 dezelfde grootte, maar verandert het teken. Het neutrale element van vermenigvuldiging is specifiek positief 1.
Nuleffect: de eigenschap van absorberende elementen
Dan is het 0.
Het vermenigvuldigen van een willekeurige waarde met nul levert nul op. De grootte of het teken van het originele nummer doet er niet toe.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Het absorbeert waarde. Het resultaat is altijd 0. Dit is een strikte regel. Als u het wiskundewerkblad van uw kind bekijkt en u krijgt een antwoord dat niet nul is als u vermenigvuldigt met nul, dan weet u meteen wat er mis is.
Binnen bereik blijven: de sluitingseigenschap
Sluitingseigenschappen zijn van toepassing op sets. Dit zorgt ervoor dat bij het vermenigvuldigen van getallen binnen een bepaalde groep de antwoorden binnen dezelfde groep blijven.
Het product van natuurlijke getallen (positieve gehele getallen) is altijd een natuurlijk getal.
4×6=24.
4 en 6 zijn beide natuurlijk. 24 is natuurlijk.
Het product van gehele getallen (inclusief negatieve getallen) is altijd een geheel getal.
5 x (-2) = -10.
5 is een natuurlijk getal (en dus een geheel getal). -2 is een geheel getal. De resulterende -10 is een geheel getal.
Dit kenmerk lijkt misschien voor de hand liggend voor volwassenen, maar het is belangrijk dat leerlingen dit begrijpen. Dit verklaart waarom het vermenigvuldigen van sommige getallen het systeem niet “breekt”. Zorgt voor voorspelbaarheid.
Het begrijpen van deze eigenschappen is meer dan alleen het behalen van een examen. Het draait allemaal om het opbouwen van intuïtie. Wanneer zich complexe problemen voordoen, kunt u deze regels gebruiken om ze te ordenen, combineren en vereenvoudigen. Deze zetten moeilijke vergelijkingen om in hanteerbare stappen. De volgende keer dat u met een vermenigvuldigingsprobleem wordt geconfronteerd, vraag uzelf dan af welke eigenschappen u zullen helpen het sneller op te lossen.
Waarom werken deze vermenigvuldigingstrucs echt?
Misschien heb je tijdens de wiskundeles termen als ‘commutatief’ of ‘distributief’ gehoord. Dit klinken als bedrijfsmodewoorden, maar het zijn slechts snelkoppelingen om denkkracht te besparen. Laten we het in vier scenario’s opsplitsen om te zien hoe deze regels in de praktijk werken.
Hoe vereenvoudigt de wet van commutatie complexe producten?
Zie oefening 1. Er zijn vier verschillende reeksen.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Wat is het antwoord? Alle.
Waarom? Omdat vermenigvuldigen commutatief is. Dit betekent dat de volgorde van de factoren het uiteindelijke getal niet verandert. Hier zijn de factoren altijd 3, 5, 6, , 8. Als u ze verwisselt, blijven de resultaten stabiel.
Laten we wiskunde testen zonder afhankelijk te zijn van het geheugen.
Voor a), beginnend van links naar rechts, is 6 keer 3 18. Dan is 18 keer 5 90. Vermenigvuldig ten slotte 90 met 8 om 720 te krijgen.
b) dan is 3 keer 8 24. Vermenigvuldig dit met 6 (144) en dan met 5. Het resultaat is nog steeds 720.
Voor c) is 5 keer 6 30. Vermenigvuldig met 3 en je krijgt 90. Vermenigvuldig met 8 en je krijgt 720.
Voor d) is 8 keer 5 40. Vermenigvuldig met 6 om 240 te krijgen. Vermenigvuldig met 3 om 720 te krijgen.
Wijzigingen groeperen. De volgorde verandert. Het product niet
Verandert de groeperingsfactor de resultaten?
In oefening 2 wordt gevraagd of het herschikken van de haakjes de resultaten verandert.
a) (5 x 2) x 7 + 3
b) 5×(2×7)+3
Het antwoord is nee. De manier waarop de factoren in de vermenigvuldiging zijn gegroepeerd, heeft geen invloed op het totaal. Dit is de associatieve eigenschap.
Laten we de stappen aan beide kanten van de vergelijking volgen.
In scenario a) worden eerst de binnenste haakjes berekend. 5 keer 2 is 10. Dan is 10 keer 7 70. Voeg 3 toe en je krijgt 73.
In scenario b) groeperen we ze anders. 2 keer 7 is 14. Vermenigvuldig dit met de buitenste 5 om 70 te krijgen. Voeg er nog 3 toe. Het resultaat is 73.
Hoe je de getallen ook combineert, de vorige vermenigvuldiging levert dezelfde waarde op, dus de uiteindelijke optelling blijft hetzelfde.
Distributieve eigenschappen gebruiken om berekeningen te versnellen
Oefening 3 richt zich op verdelingen. De regels zijn eenvoudig. Bij het vermenigvuldigen van getallen met de som (of het verschil) wordt elke term binnen de haakjes vermenigvuldigd met het getal buiten de haakjes.
a) 4×(5+3)
b) 5×(8-5+1)
c) 3×(2+2)+0×(7+9)
Hier is een stapsgewijze oplossing.
Verdeel voor a) de 4:.
4 × 5 = 20
4×3=12
20 + 12 = 32
Voor b) verdeelt u de 5 over de aftrekking en optelling:.
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Voor c) is dit moeilijk omdat deze nul heeft. Verdeel de 3 en de 0 afzonderlijk:.
3×2=6
3 Ah, de uitleg veranderde de vraag in 2+4. Volg de logica van de uitleg om overeen te komen met het antwoord gegeven in 18).
Gecorrigeerd op basis van bronbeschrijving:
Als we de interne logica van de uitleg volgen, ziet het er als volgt uit:
3×(2+4)+0×(7+9)
3×2=6
3×4
