Spójrz na dwie osie liczbowe. Jeden z nich jest poziomy. Drugi jest pionowy. Przecinają się. Punkt przecięcia to początek lub zero. Konstrukcja ta nazywana jest płaszczyzną kartezjańską. Można go również nazwać układem współrzędnych.
Cel jest prosty. Dokładnie określ lokalizację. Każdy punkt siatki ma swój własny, unikalny adres. Adres ten jest podawany za pomocą współrzędnych. Wskazują dokładne położenie punktu względem środka.
Ale to nie tylko kreślenie punktów. To jest analiza postaci. Możesz uczyć się paraboli. Hiperbole działają również na tej płaszczyźnie. Prosty? Kręgi? Elipsy? Oni wszyscy tu istnieją. To jest podstawa geometrii analitycznej.
Płaszczyzna kartezjańska przekłada kształty wizualne na dane matematyczne.
Dlaczego to jest ważne? Potrzebujesz precyzji. Abstrakcyjna matematyka staje się zagmatwana bez siatki. Płaskość nadaje strukturę. Zamienia geometrię w liczby. Odległości można obliczyć. Możesz znaleźć kąty nachylenia. Można przewidzieć kształty krzywych.
Na początku uczniowie często mają trudności z tą koncepcją. Osie wydają się dowolne. Czwórki wydają się zbędne. Ale kiedy już to zrozumiesz, wszystko stanie się jasne. To tylko mapa. Mapa dla liczb.
Pomyśl o tym, gdzie go spotkasz. Systemy GPS korzystają z podobnych siatek. W grach wideo światy są wyświetlane na siatkach. Architekci rysują na siatkach. Ta koncepcja jest wszędzie. Po prostu nie zawsze się to tak nazywa.
Nie musisz zapamiętywać wszystkiego na raz. Zacznij od osi. Zrozum pochodzenie. Następnie przejdź do wykreślania punktów. Reszta wyjaśni się sama. Praktyka sprawia, że staje się to intuicyjne.
Czy to wydaje się trudne? Może. Ale właśnie ta sztywność jest jej siłą. Ona tworzy porządek. Zapewnia dokładność. W świecie przybliżeń dokładność jest rzadkością. I wartość.
Skąd wzięła się nazwa samolotu kartezjańskiego
Siatka, którą widzisz na zajęciach z algebry, nie jest przypadkowym rysunkiem. Jej nazwa pochodzi od René Descartesa, francuskiego filozofa i matematyka, który zasadniczo wynalazł nowoczesną geometrię analityczną. Jako pierwszy przedstawił punkty za pomocą układu osi, zamieniając abstrakcyjne kształty na liczby. Przed nim geometria i algebra były w dużej mierze odrębnymi dziedzinami. Związał ich.
Elementy płaskie
Aby naprawdę korzystać z samolotu, musisz znać jego części. Składa się z czterech głównych elementów: osi współrzędnych, początku, ćwiartek i samych współrzędnych. Podzielmy je tak, aby zapadły w pamięć.
Osie współrzędnych
Podstawą całego układu są dwie prostopadłe przecinające się linie. Nazywa się je oś x i oś y.
Pomyśl o nich jak o siatce. Linia pozioma to oś x. Pionowa jest oś Y. Gdzie się przecinają? To jest punkt wyjścia do wszystkiego. Linie te dzielą płaszczyznę na cztery oddzielne sekcje. Stanowią układ odniesienia, który umożliwia określenie dowolnego miejsca w przestrzeni za pomocą zaledwie dwóch liczb.
Osie współrzędnych to po prostu dwie linie proste przecinające się pod kątem prostym wynoszącym 90 stopni. Przecinają się w jednym punkcie płaszczyzny. To przecięcie tworzy podstawową strukturę do umieszczenia dowolnego obiektu w przestrzeni dwuwymiarowej. Linia biegnąca od lewej do prawej nazywa się odciętą. Linia biegnąca od góry do dołu to rzędna.
Odcięta jest pozioma. Jest to zawsze oznaczone literą x. Pomyśl o tym jak o linii horyzontu. Współrzędna jest pionowa. Jest to oznaczone literą y. To jest linia określająca wysokość. Razem te dwie prostopadłe linie tworzą mapę potrzebną do odczytania wykresów, wykreślenia funkcji lub po prostu zlokalizowania czegoś na płaszczyźnie.
Jeśli chcesz dobrze zrozumieć podstawy geometrii, zwróć uwagę na sposób definiowania kierunków. Kierunek poziomy podąża za osią x. Kierunek pionowy jest zgodny z osią Y. Są to różne, choć powiązane ze sobą pojęcia. Linie prostopadłe to zasada, która utrzymuje wszystko na swoim miejscu.
Początek lub punkt 0
Punkt, w którym odcięta i rzędna przecinają się, ma swoją nazwę. Nazywa się to pochodzeniem. To jest punkt zerowy. Tutaj wszystko się zaczyna. Współrzędne w tym punkcie to (0, 0). Nie ma przesunięcia w prawo ani w górę. Znajduje się w absolutnym środku kartezjańskiego układu współrzędnych.
To jest kotwica. Jeśli przesuniesz się na prawo od początku, twoje wartości x będą dodatnie. Jeśli przesuniesz się w lewo, są one ujemne. To samo dotyczy kierunku pionowego. Powyżej początku wartość y jest dodatnia. Poniżej wynik negatywny. Ten punkt zerowy jest początkowym punktem odniesienia. Bez niego nie byłoby stałego punktu, od którego można mierzyć odległości lub kreślić krzywe.
Pomaga przejrzystość wizualna. Wyobraź sobie kartkę papieru. Narysuj poziomą linię. Narysuj kolejną pionową linię, przecinając pierwszą na pół. Punkt przecięcia to Twój początek. Wszystko inne jest budowane od tego punktu.
Kwadranty płaszczyzny kartezjańskiej
Siatka nie ogranicza się tylko do linii. Kiedy te prostopadłe osie przecinają się, dzielą płaską powierzchnię na cztery różne strefy. To są ćwiartki. Nie są one arbitralne. Istnieją dzięki temu, jak definiujemy pozytywną i negatywną przestrzeń wokół centralnego początku.
Pomyśl o tym jak o mapie. Stoisz pośrodku. Patrząc w prawo? To pozytywne terytorium. Patrząc w górę? Również pozytywne. Ale idziesz w lewo? Nagle znajdziesz się w strefie negatywnej. Schodzisz na dół? Ten sam. Tworzy to specyficzną logikę dla każdego punktu na wykresie.
Kwadranty są oznaczone cyframi rzymskimi, ale numeracja nie zaczyna się od jedynki. Zaczyna się od prawego górnego rogu. Dlaczego? Historia. I tradycja. W ten sposób matematycy po prostu zgodzili się liczyć.
Oto jak są dystrybuowane:
Ćwiartka I: Szczęśliwe miejsce
Prawy górny róg. Zarówno x, jak i y są dodatnie. Jeśli widzisz punkt taki jak (3, 5), znajduje się on tutaj. Wszystkie punkty znajdują się powyżej i na prawo od początku układu współrzędnych. Tylko.
Ćwiartka II: Skręć w lewo
Lewy górny róg. Tutaj x jest ujemne. y jest nadal dodatni. Przesunąłeś się na lewo od środka, ale nadal pozostajesz na górze. Tu należy punkt widokowy (-2, 4).
Ćwiartka III: Lewy dolny róg
Teraz obie wartości są ujemne. Poszedłeś w lewo (ujemne x) i w dół (ujemne y). Jest to lustrzane odbicie ćwiartki I, ale odwrócone w obu osiach. Punkt (-3, -5) jest tutaj.
Ćwiartka IV: Prawy dolny róg
Opcja mieszana. x jest dodatnie (w prawo), ale y jest ujemne (w dół). W tym miejscu robi się interesująco podczas kreślenia funkcji. Punkt widzenia (4, -2) przypada tutaj.
Dlaczego ćwiartki są ważne
Nie chodzi tylko o etykietowanie. To kwestia kierunku. Kiedy rysujesz linię, kwadrant pokazuje zachowanie nachylenia. Linia rozpoczynająca się w ćwiartce I i zmierzająca w kierunku ćwiartki III? Jest to nachylenie dodatnie. Podnosi się, gdy przesuwasz się w prawo. Przejście z ćwiartki II do IV? Nachylenie ujemne. Schodzi w dół, gdy poruszasz się w prawo.
Bez tych stref współrzędne są tylko liczbami. Dzięki temu stają się danymi lokalizacyjnymi. Opowiadają historię o ruchu i pozycji.
Jak określić swój kwadrant
Czy musisz wiedzieć, do której strefy należy dany punkt? Sprawdź znaki.
- Spójrz na współrzędną x. Czy jest to pozytywne czy negatywne?
- Spójrz na współrzędną y. Czy jest to pozytywne czy negatywne?
- Dopasuj parę do siatki.
Pozytywny/Pozytywny = ćwiartka I
Ujemny/dodatni = ćwiartka II
Negatywny/Negatywny = ćwiartka III
Dodatni/ujemny = ćwiartka IV
Wydaje się, że jest to mechaniczne. To prawda. Ale kiedy się tego nauczysz, twój mózg zrobi to natychmiast. Widzisz (-1, 3) i wiesz, że to lewy górny róg, nawet nie rysując linii.
Same osie
Oto podchwytliwe pytanie do testu: Czy początek znajduje się w kwadrancie?
Nie.
Punkty leżące dokładnie na osi x lub y nie należą do żadnego kwadrantu. Są na granicy. Początek (0,0) jest punktem przecięcia. To jest próg. Jeśli punkt ma
Zrozumienie ćwiartek i współrzędnych
Aby wyświetlić dowolny punkt na płaskiej powierzchni, potrzebna jest siatka. Siatkę tę tworzą dwie wzajemnie prostopadłe linie przecinające się. Punkt przecięcia dzieli płaszczyznę na cztery różne sekcje zwane ćwiartkami. Pomyśl o nich jak o czterech pokojach w domu, gdzie każdy punkt na całej płaszczyźnie musi znajdować się w jednym z nich.
Tradycyjnie obszary te są oznaczone cyframi rzymskimi, przesuwającymi się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawego górnego rogu.
- Ćwiartka I : Zarówno wartość pozioma (odcięta), jak i wartość pionowa (rzędna) są dodatnie.
- Ćwiartka II : Wartość pozioma jest ujemna, natomiast wartość pionowa pozostaje dodatnia.
- Ćwiartka III : Tutaj obie wartości są ujemne.
- Ćwiartka IV : Wartość pozioma jest dodatnia, ale wartość pionowa jest ujemna.
Struktura ta nie jest dowolna. Tworzy spójny język definiowania lokalizacji. Jeśli wiesz, w której ćwiartce znajduje się punkt, natychmiast znasz znaki jego współrzędnych, nawet nie patrząc na same liczby.
Jak znaleźć współrzędne na płaszczyźnie kartezjańskiej
Współrzędne to po prostu adres punktu. Wskazują dokładnie, gdzie znajduje się ten punkt, przypisując wartość osi poziomej (x) i wartość osi pionowej (y). Jest to zapisane jako P (x, y).
- P oznacza konkretny punkt.
- x to odcięta, która mierzy przemieszczenie w lewo lub w prawo.
- y jest współrzędną mierzącą przemieszczenie w górę lub w dół.
Znalezienie tych liczb jest procesem mechanicznym. Nie zgadujesz. Projektujesz.
Zacznij od punktu P. Narysuj linię prostą w dół (lub w górę), aż przetnie oś x. Linia ta jest rzutem ortogonalnym. Liczba, o którą ta linia styka się z osią x, jest współrzędną x.
Następnie narysuj linię od punktu P poziomo, aż przetnie się z osią Y. To jest rzut na oś Y. Liczba tutaj to współrzędna y.
Liczby te mogą być dodatnie lub ujemne w zależności od tego, w której ćwiartce znajduje się punkt.
Na przykład jeśli masz punkt w drugiej ćwiartce, od razu wiesz, że współrzędna x musi być ujemna, a współrzędna y musi być dodatnia. Rysujesz pionową linię do osi x i odczytujesz liczbę ujemną. Rysujesz poziomą linię do osi Y i odczytujesz liczbę dodatnią. Porządek ma znaczenie. (x, y) to nie to samo co (y, x). Zamień je, a znajdziesz się w zupełnie innym miejscu.
Przyjrzyjmy się konkretnym współrzędnym każdej części siatki. W I kwadrancie punkt P ma współrzędne (2, 3). Przejdź do Ćwiartki II, a punkt P będzie w punkcie (-3, 1). Zejdź do Ćwiartki III, a punkt P znajdziesz na pozycji (-3, -1). Wreszcie w IV ćwiartce punkt P znajduje się w punkcie (3, -2).
Liczby te to nie tylko abstrakcyjne symbole. Oto instrukcje.
Jeśli chcesz dokładnie określić, gdzie na siatce znajduje się określony punkt na podstawie jego współrzędnych, proces jest mechaniczny, ale precyzyjny. Najpierw narysuj pionową linię prostopadłą do osi x przechodzącą przez pierwszą liczbę, czyli odciętą. Następnie narysuj poziomą linię prostopadłą do osi Y przechodzącą przez drugą liczbę, czyli rzędną.
Punkt, w którym te dwie linie przecinają się, jest twoją odpowiedzią. To przecięcie oznacza dokładne położenie przestrzenne punktu.
Na przykład
Podstawą jest wyznaczenie współrzędnych punktów. Weźmy punkt P (3,4). Wyraźnie zlokalizowana jest w pierwszym kwartale. Liczba 3 oznacza oś poziomą – odciętą. Liczba 4 oznacza oś pionową – rzędną. Przesuwasz się w prawo, potem w górę. To jest twój punkt widzenia.
Zmień znaki. P (-3,-4) przypada na III kwartał. Wartość -3 przesuwa Cię w lewo na osi X. Wartość -4 przesuwa Cię w dół osi Y. Dwie różne lokalizacje. Dwie różne zasady czytania siatki współrzędnych.
Jak funkcje odwzorowują wejścia na wyjścia
Funkcja zapisana jako f(x)=y nie jest tylko symbolem. To jest samochód. Pobiera zmienną niezależną z dziedziny definicji i przekształca ją w zmienną zależną z dziedziny wartości.
Rozważ f(x)=3x.
Zasada jest prosta. Pomnóż wartość wejściową przez trzy.
| Wejście funkcji (x) | Operacja | Dane wyjściowe(y) |
|---|---|---|
| 2 | 3 * 2 | 6 |
| 3 | 3 * 3 | 9 |
| 4 | 3 * 4 | 12 |
Każda wartość wejściowa odpowiada dokładnie jednej wartości wyjściowej. To jest korespondencja jeden do jednego. Jeden do jednego. Żadnych dwuznaczności. Jeśli wpiszesz liczbę, otrzymasz konkretny wynik. Nic więcej. Nic mniej.
Tabela punktów do wykreślenia
Aby wykreślić funkcję, nie można po prostu zgadywać. Musisz zrobić stół.
Zapisujesz pary wartości. Zorganizuj je. Następnie zastosuj go do płaszczyzny kartezjańskiej.
Rozważ następujące konkretne współrzędne:
- X=2, Y=3 staje się punktem (2,3).
- X=-4, Y=2 staje się punktem (-4,2).
- X=6, Y=-1 staje się punktem (6,-1).
Stół porządkuje chaos. Wykres przedstawia wzór.
Która metoda jest najlepsza dla Twojego stylu uczenia się? Niektórzy uczniowie wolą najpierw stworzyć stół. Inni od razu ustalają harmonogram. Matematyki nie interesuje, jaki masz wybór. Interesuje ją dokładność.
Zacznij od osi. Znajdź punkt przecięcia. Zaznacz punkt. Powtarzać.
Samolot na nikogo nie czeka.
