Prawdopodobnie pamiętasz cztery filary matematyki w szkole średniej. Dodatek. Odejmowanie. Mnożenie. Dział. Wydają się dość proste, ale stanowią podstawę arytmetyki – gałęzi matematyki badającej zachowanie liczb i ich interakcje. Nie chodzi już tylko o liczenie na palcach. Choć pierwotnie arytmetyka zaczynała się od liczb pierwszych naturalnych, dziś obejmuje ona wszystkie liczby rzeczywiste. Obejmuje to ułamki. Ułamki dziesiętne. Nawet liczby ujemne, które często sprawiają uczniom trudności.
Zrozumienie tych podstawowych operacji to coś więcej niż tylko zapamiętywanie tabliczki mnożenia. To znajomość zasad rządzących wszystkimi obliczeniami, jakie kiedykolwiek wykonasz. Dlaczego 2 $ + 3 $ równa się 3 $ + 2 $? Dlaczego grupowanie jest ważne przy mnożeniu? Nie są to cechy przypadkowe. To są prawa. W szczególności trzy podstawowe prawa regulują wzajemne oddziaływanie liczb.
Prawo przemienne: kolejność nie ma znaczenia
Zacznijmy od prawa przemienności. Brzmi skomplikowanie, ale w istocie jest to po prostu pozwolenie na zamianę numerów. Podczas dodawania i mnożenia kolejność liczb nie zmienia wyniku.
$a + b = b + a$
$a \times b = b \times a$
Pomyśl o tym. Jeśli masz dwa jabłka i dodasz do nich trzy pomarańcze, otrzymasz pięć owoców. Jeśli najpierw dodasz pomarańcze, a potem jabłka, nadal będziesz mieć pięć owoców. To samo dotyczy mnożenia. Pięć grup po dwa przedmioty to to samo, co dwie grupy po pięć przedmiotów. Ta zasada jest ogromna dla obliczeń mentalnych. Czy chcesz policzyć 7 $ \raz 8 $? Jeśli łatwiej jest przywołać z pamięci 8 $ \times 7$, użyj tej opcji. Prawo przemienności gwarantuje, że odpowiedź będzie taka sama.
Prawo stowarzyszeń: grupowanie niczego nie zmienia
Następnie przychodzi prawo zrzeszania się. Dotyka nawiasów. Mówi nam, że gdy dodawane lub mnożone są trzy lub więcej liczb, sposób ich grupowania nie zmienia sumy.
$a + (b + c) = (a + b) + c$
$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
Wyobraź sobie, że kupujesz trzy przedmioty, które kosztują 10, 20 i 30 dolarów. Możesz dodać pierwsze dwa (10 + 20 = 30), a następnie dodać trzeci (30 + 30 = 60). Możesz też dodać dwa ostatnie (20 + 30 = 50), a następnie dodać pierwszy (10 + 50 = 60). Całkowita kwota będzie identyczna. Ta właściwość zapewnia elastyczność. Umożliwia zmianę kolejności obliczeń, aby były prostsze lub łatwiejsze do śledzenia.
Prawo rozdzielcze: łączenie dwóch światów
Interesujące jest prawo dystrybucyjne. Łączy dodawanie i mnożenie. Twierdzi, że pomnożenie liczby przez sumę jest równoznaczne z pomnożeniem tej liczby przez każdą część sumy z osobna, a następnie dodaniem wyników.
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
Jest to konieczne do rozwiązywania złożonych problemów. Załóżmy, że musisz pomnożyć 6 $ \ razy 28 $. Zamiast pracować bezpośrednio z 28, podziel to na 20 + 8 USD. Teraz rozdaj 6:
6 dolarów \razy 20 = $
