Wat is de eerlijkste manier om een pot met geld te verdelen als een kansspel halverwege wordt onderbroken?
Stel je voor dat jij en een vriend elk $ 50 hebben ingezet op een spel waarbij munten worden omgedraaid. Het doel is om als eerste 10 punten te behalen. De score is momenteel 8 tot 6 in uw voordeel. Plotseling dwingt een noodgeval je vriend om te vertrekken. Je wilt hun $ 50 niet teruggeven omdat je aan het winnen bent, maar ze willen niet de volledige $ 100 overhandigen omdat ze nog steeds een kans hebben om terug te komen.
Dit dilemma, bekend als het ‘puntenprobleem’, heeft de grootste geesten in de wiskunde meer dan 150 jaar lang met stomheid geslagen. De zoektocht om dit op te lossen leidde uiteindelijk tot de geboorte van de waarschijnlijkheidstheorie, een vakgebied dat nu alles regelt, van de aandelenmarkt tot verzekeringspremies.
De mislukte oplossingen: proportie en vooruitgang
Vóór het midden van de 17e eeuw probeerden wiskundigen dit probleem op te lossen met behulp van logica die, hoewel intuïtief, wiskundig gebrekkig was.
- De proportionele aanpak (1494): Luca Pacioli suggereerde dat spelers de pot moesten verdelen op basis van hun huidige score. In ons 8–6 voorbeeld zou jij 8/14e van de pot ($57,14) nemen en je vriend 6/14e ($42,86). In extreme gevallen mislukt dit echter: als het spel na slechts één keer wordt onderbroken, zou de winnaar de hele pot pakken, ook al is het spel nog lang niet beslist.
- De voortgangsaanpak: Niccolò Fontana “Tartaglia” probeerde dit op te lossen door te kijken hoe dicht een speler bij de finish was. Hij voerde aan dat het aandeel van een speler gebaseerd moet zijn op zijn voortgang in verhouding tot het totaal aantal benodigde punten. Hoewel het billijker was dan de methode van Pacioli, kon het nog steeds geen rekening houden met de werkelijke wiskundige kans om te winnen, wat vaak resulteerde in uitbetalingen die niet de werkelijke kansen weerspiegelden.
De doorbraak: Pascal en Fermat
De impasse werd rond 1650 doorbroken toen een Franse socialite de wiskundige Blaise Pascal vroeg om het probleem op te lossen. Pascal wendde zich tot zijn collega Pierre de Fermat, en hun correspondentie veranderde de wiskunde voor altijd.
Ze realiseerden zich dat een “eerlijke” verdeling niet gebaseerd moest zijn op de score zoals die er nu uitziet, maar op de mogelijke toekomst van het spel. Ze kwamen tot dezelfde conclusie met behulp van twee verschillende, briljante methoden.
Fermats methode: alle toekomsten uitputten
Fermat stelde voor om te kijken naar alle mogelijke manieren waarop het spel kon doorgaan. Als er nog vijf salto’s over zijn om het spel te beslissen, zou hij elke mogelijke reeks kop en munt opsommen. Vervolgens telde hij hoeveel van die reeksen resulteerden in een overwinning voor speler A versus speler B.
In ons 8–6-scenario zou Fermat berekenen dat er 32 mogelijke uitkomsten zijn voor de resterende salto’s. Hij ontdekte dat speler A in 26 van die scenario’s wint. Daarom heeft speler A recht op 81,25% van de pot ($81,25).
Pascal’s methode: de kracht van verwachte waarde
Hoewel de methode van Fermat accuraat was, was deze onpraktisch voor lange spellen. Als er nog twintig salto’s overblijven, zou je meer dan een miljoen verschillende toekomsten moeten berekenen.
Pascal loste dit op door achteruit te werken met behulp van een concept dat we nu “verwachte waarde” noemen. Hij begon met het eenvoudigst mogelijke scenario: als de score gelijk is (9–9), wordt de pot 50/50 verdeeld. Vervolgens werkte hij een stap terug: als de score 9–8 is, is er 50% kans dat de leider onmiddellijk wint en 50% kans dat ze gelijk spelen. Door deze mogelijkheden te middelen, kon hij stap voor stap de waarde van elke score berekenen, zonder elke afzonderlijke toekomst op te sommen.
Waarom dit vandaag belangrijk is
De convergentie van de methoden van Pascal en Fermat bewees dat waarschijnlijkheid niet alleen gaat over wat is gebeurd, maar over het gewogen gemiddelde van wat zou kunnen gebeuren.
Deze verschuiving van het kijken naar het verleden (de huidige score) naar het berekenen van de gewogen mogelijkheden van de toekomst vormt de basis van de moderne risicobeoordeling.
Tegenwoordig is deze logica de motor achter een groot deel van onze moderne wereld. Wanneer een verzekeringsmaatschappij uw premie berekent, of een hedgefonds een portefeuille beheert, gebruiken zij de afstammelingen van de logica van Pascal en Fermat om potentiële verliezen af te wegen tegen potentiële winsten.
Conclusie: Door te proberen een eenvoudig gokgeschil op te lossen, zijn wiskundigen verder gegaan dan louter rekenkunde om de wiskunde van onzekerheid te ontdekken, en hebben ze de instrumenten aangereikt die nodig zijn om te navigeren in een wereld die wordt gedreven door risico.
