¿Cuál es la forma más justa de dividir un bote de dinero cuando un juego de azar se interrumpe a la mitad?
Imagina que tú y un amigo habéis apostado 50 dólares cada uno en un juego de lanzamiento de monedas. El objetivo es ser el primero en llegar a los 10 puntos. La puntuación actualmente es de 8 a 6 a tu favor. De repente, una emergencia obliga a tu amigo a marcharse. Usted no quiere devolver sus $50 porque está ganando, pero ellos no aceptarán entregarle los $100 completos porque todavía tienen la oportunidad de regresar.
Este dilema, conocido como el “problema de los puntos”, dejó perplejos a las mentes más brillantes de las matemáticas durante más de 150 años. La búsqueda para resolverlo finalmente condujo al nacimiento de la teoría de la probabilidad, un campo que ahora gobierna todo, desde el mercado de valores hasta las primas de seguros.
Las soluciones fallidas: proporción y progreso
Antes de mediados del siglo XVII, los matemáticos intentaron resolver este problema utilizando una lógica que, aunque intuitiva, era matemáticamente defectuosa.
- El enfoque proporcional (1494): Luca Pacioli sugirió que los jugadores deberían dividir el bote en función de su puntuación actual. En nuestro ejemplo 8-6, usted se quedaría con 8/14 del bote ($57,14) y su amigo se quedaría con 6/14 ($42,86). Sin embargo, esto falla en casos extremos: si el juego se interrumpe después de un solo lanzamiento, el ganador se quedaría con todo el bote, aunque el juego esté lejos de estar decidido.
- El enfoque del progreso: Niccolò Fontana “Tartaglia” intentó resolver esto observando qué tan cerca estaba un jugador de la línea de meta. Sostuvo que la participación de un jugador debería basarse en su progreso en relación con el total de puntos necesarios. Si bien es más equitativo que el método de Pacioli, aún no tiene en cuenta la probabilidad matemática real de ganar, lo que a menudo resulta en pagos que no reflejan las probabilidades reales.
El gran avance: Pascal y Fermat
El punto muerto se rompió en la década de 1650, cuando una socialité francesa pidió al matemático Blaise Pascal que resolviera el problema. Pascal recurrió a su colega Pierre de Fermat y su correspondencia cambió las matemáticas para siempre.
Se dieron cuenta de que una división “justa” no debería basarse en el puntaje tal como está, sino en los posibles futuros del juego. Llegaron a la misma conclusión utilizando dos métodos brillantes y diferentes.
El método de Fermat: agotar todos los futuros
Fermat propuso estudiar todas las formas posibles de continuar el juego. Si quedan cinco lanzamientos para decidir el juego, enumeraría todas las secuencias posibles de cara y cruz. Luego contó cuántas de esas secuencias resultaron en una victoria para el jugador A frente al jugador B.
En nuestro escenario 8-6, Fermat calcularía que hay 32 resultados posibles para los lanzamientos restantes. Encontró que el jugador A gana en 26 de esos escenarios. Por lo tanto, el jugador A tiene derecho al 81,25% del bote ($81,25).
El método de Pascal: el poder del valor esperado
Si bien el método de Fermat era preciso, no resultaba práctico para partidas largas. Si quedaran 20 lanzamientos, habría que calcular más de un millón de futuros diferentes.
Pascal resolvió esto trabajando hacia atrás usando un concepto que ahora llamamos “valor esperado”. Comenzó con el escenario más simple posible: si el puntaje está empatado (9–9), el bote se divide 50/50. Luego dio un paso atrás: si el puntaje es 9 a 8, hay un 50% de posibilidades de que el líder gane inmediatamente y un 50% de posibilidades de que empaten. Al promediar estas posibilidades, podría calcular el valor de cualquier puntuación, paso a paso, sin tener que enumerar todos los futuros.
Por qué esto es importante hoy
La convergencia de los métodos de Pascal y Fermat demostró que la probabilidad no se trata sólo de lo que ha sucedido, sino del promedio ponderado de lo que podría suceder.
Este paso de mirar al pasado (la puntuación actual) a calcular las posibilidades ponderadas del futuro es la base de la evaluación de riesgos moderna.
Hoy, esta lógica es el motor detrás de gran parte de nuestro mundo moderno. Cuando una compañía de seguros calcula su prima, o un fondo de cobertura gestiona una cartera, está utilizando la lógica descendiente de Pascal y Fermat para sopesar las pérdidas potenciales con las ganancias potenciales.
Conclusión: Al intentar resolver una simple disputa sobre juegos de azar, los matemáticos fueron más allá de la mera aritmética para descubrir las matemáticas de la incertidumbre, proporcionando las herramientas necesarias para navegar en un mundo impulsado por el riesgo.
