Geometrie kan abstract aanvoelen totdat je het in actie ziet. De stelling van Thales, vaak de basisproportionaliteitsstelling genoemd, is een van die concepten die droog klinkt, maar ongelooflijk praktisch is. Het is een regel over verhoudingen. Concreet gaat het over hoe lijnen op elkaar inwerken als je ze vanuit een enkel punt start en ze doorsnijdt met parallelle lijnen.
Hier is het kernidee in gewone taal: als je twee rechte lijnen (transversalen) neemt die bij exact hetzelfde hoekpunt beginnen, en je snijdt ze door met evenwijdige lijnen, dan zullen de segmenten die op die twee originele lijnen worden gemaakt proportioneel zijn.
De regel: Parallelle snijpunten creëren proportionele segmenten op transversale lijnen die uit hetzelfde punt komen.
Hoe het visueel werkt
Laten we dit opsplitsen zonder het jargon. Stel je een punt voor met het label R. Vanaf dit punt R schieten er twee lijnen uit. Dit zijn je transversale lijnen. Ze hoeven niet parallel aan elkaar te zijn. Ze hoeven alleen maar te beginnen bij R.
Stel je nu voor dat je rechte lijnen tekent die beide transversalen kruisen. Als deze kruisende lijnen parallel aan elkaar lopen, gebeurt er iets interessants. Ze snijden de twee originele lijnen in segmenten.
Laten we zeggen dat de eerste parallelle lijn de dwarslijnen snijdt op de punten A en B. De tweede parallelle lijn snijdt ze op de punten C en D. De stelling stelt dat de verhouding van het segment op de eerste lijn gelijk is aan de verhouding van het segment op de tweede lijn.
Wiskundig gezien geldt het volgende als we naar de segmenten tussen de evenwijdige lijnen kijken:
* De lengte van het segment op de eerste dwarsbalk gedeeld door het volgende segment op dezelfde lijn is gelijk aan de lengte van het overeenkomstige segment op de tweede dwarsbalk gedeeld door het volgende segment.
Dit gaat niet zomaar over willekeurige regels. De belangrijkste beperking is dat de snijlijnen parallel moeten zijn. Als ze niet parallel zijn, zijn de segmenten niet proportioneel. Het parallellisme dwingt de verhoudingen om op slot te blijven.
Waarom dit belangrijk is voor studenten
Je vraagt je misschien af waarom je dit moet weten. Het is niet alleen voor het slagen voor een geometrietest. Dit principe ligt ten grondslag aan schaalvergroting, soortgelijke driehoeken en zelfs sommige aspecten van perspectief in kunst en design.
Als je twee driehoeken ziet die een hoekpunt delen en evenwijdige bases hebben, kijk je vermomd naar de stelling van Thales. De driehoeken zijn gelijkvormig. De zijden van de grotere driehoek zijn geschaalde versies van de zijden van de kleinere driehoek. De schaalverhouding is constant.
Dit maakt het berekenen van onbekende lengtes verrassend eenvoudig. Als je de lengte van één zijde kent en de verhouding van de segmenten die door de evenwijdige lijn worden gecreëerd, kun je de andere zijde vinden zonder complexe trigonometrie.
Een concreet voorbeeld
Stel je voor dat twee lijnen samenkomen op punt R.
1. Lijn 1 gaat door de punten A en B.
2. Lijn 2 gaat door de punten C en D.
3. Het lijnstuk AB ligt evenwijdig aan het lijnstuk CD.
Als de afstand van R tot A 3 eenheden is, en de afstand van A tot B 6 eenheden is, is de totale lengte van R tot B 9 eenheden.
Omdat de lijnen evenwijdig zijn, is de verhouding van
Proportionaliteit verifiëren met bekende waarden
Laten we de stelling testen met werkelijke getallen. Dit verplaatst het concept van abstracte theorie naar iets dat je kunt berekenen.
Stel je een opstelling voor met vier specifieke segmenten:
- Segment Ra meet 2 meter.
- Segment ab meet 4 meter.
- Segment Ra’ meet 3 meter.
- Segment a’b’ meet 6 meter.
Met behulp van de tweede gelijkheid uit de vorige visuele referentie controleren we de verhoudingen. Het resultaat? Het aandeel blijft bestaan. Het quotiënt voor elk segmentpaar is precies 0,5.
Dit bevestigt de Teorema de Tales (de stelling van Thales): wanneer meerdere parallelle lijnen twee lijnen snijden die uit hetzelfde punt komen, blijven alle resulterende segmenten proportioneel. De lijnen moeten over de gehele lengte op gelijke afstand van elkaar blijven. Als ze niet parallel zijn, breken de verhoudingen.
Historische context
Dit principe is niet alleen maar geometrie; het is geschiedenis. Het werd geformuleerd door Thales van Milete, een Griekse filosoof die ook de wiskunde, natuurkunde en wetgeving beïnvloedde. Hij tekende niet alleen vormen, hij probeerde de wereld te kwantificeren.
De stelling van Thales toepassen op soortgelijke driehoeken
De stelling heeft praktische toepassingen bij het berekenen van de zijden van soortgelijke driehoeken. Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze dezelfde vorm hebben, identieke ingeschreven hoeken hebben en zijden hebben die proportioneel in lengte zijn.
Maar hoe creëer je eigenlijk een soortgelijke driehoek van een bestaande?
Trek een lijn in een driehoek die evenwijdig is aan een van de zijden. De resulterende kleinere driehoek bovenaan (of onderaan, afhankelijk van het perspectief) zal vergelijkbaar zijn met het origineel.
De sleutel is parallellisme. Zonder parallelle lijnen die de driehoek doorsnijden, verlies je de proportionele relatie die ervoor zorgt dat de wiskunde werkt.
Denk eens aan het visuele hulpmiddel dat vaak wordt gebruikt om dit aan te tonen. Een driehoek wordt gedeeld door een lijn evenwijdig aan de basis. De kleine driehoek bovenaan weerspiegelt het grote origineel. Hun hoeken komen overeen. Hun zijkanten schalen perfect. Dit is het belangrijkste nut van de stelling bij berekeningen in de echte wereld, van constructie tot het maken van kaarten.
Waarom is dit belangrijk voor studenten of doe-het-zelvers? Want je kunt meten wat je kunt zien en berekenen wat je niet kunt zien. Als je weet dat de hoogte van een boom te groot is om direct te meten, maar je kunt de schaduw ervan en de schaduw van een nabijgelegen stok meten, geeft Thales je de verhouding. Je hebt geen ladder nodig. Je hebt proporties nodig.
De afbeelding waarnaar hier doorgaans wordt verwezen, toont deze splitsing. De parallelle lijn creëert de voorwaarde. De hoeken bewijzen de gelijkenis. De zijkanten bevestigen de verhouding. Het is een gesloten lus van logica.
Is het altijd zo schoon? In een leerboek, ja. In de echte wereld sluipen meetfouten binnen. Maar het principe blijft het anker.
Als je nu naar dat diagram kijkt, merk dan op hoe de parallelle lijn als schaalverdeling fungeert. Het verandert niets aan de hoeken. Het verandert alleen de schaal. Dat is de kracht van gelijkenis. Je behoudt de identiteit van de vorm terwijl je de grootte ervan verandert.
Dit vormt de basis voor het gebruik van de stelling om onbekende lengtes op te lossen. Je hoeft niet te raden. Je hebt alleen de bekende nodig.
Vormen schalen met de stelling van Thales
Trek een lijn evenwijdig aan zijde AB en je hebt zojuist een nieuwe zijde gemaakt, A’B’. Nu heb je twee gelijksoortige driehoeken: de originele ABC en de kleinere (of grotere) A’B’C.
Het Stelling van Thales is niet alleen maar een geometrische curiosum. Het garandeert dat de zijden van deze twee driehoeken evenredig zijn. Dit betekent dat de relatie tussen overeenkomstige zijden constant blijft. Specifiek:
- Kant AC in de oorspronkelijke driehoek heeft betrekking op zijde A’C in de gelijkvormige driehoek.
- Zijde BC in de oorspronkelijke driehoek heeft betrekking op zijde B’C in de gelijkvormige driehoek.
- Zijde AB in de oorspronkelijke driehoek heeft betrekking op zijde A’B’ in de gelijkvormige driehoek.
De evenredigheidsverhouding is voor alle paren identiek. De verhouding tussen AB en A’B’ komt overeen met de verhouding tussen AC en A’C, die ook overeenkomt met de verhouding tussen BC en B’C.
Laten we dit verifiëren met een concreet voorbeeld:
Probar la semejanza met razones en Teorema de Tales
Waarom lijken twee driehoeken op elkaar, maar hebben ze verschillende afmetingen? Het antwoord ligt in de verhoudingen van hun overeenkomstige zijden. Wanneer u de metingen vergelijkt, test u in wezen op gelijkenis met behulp van de principes die ten grondslag liggen aan de stelling van Thales (vaak de snijstelling of proportionele segmenten genoemd).
Neem het voorbeeld van de driehoeken uit het vorige gedeelte. Zijde AB meet 9, terwijl de overeenkomstige zijde A’B’ 6 is. Als je de grotere zijde deelt door de kleinere ($9 \div 6$), krijg je een verhouding van 1,5.
Kijk nu naar het volgende paar. Kant BC is 12 en kant B’C is 8. Verdeel ze ($12 \div 8$) en je krijgt hetzelfde resultaat: 1,5.
Deze consistentie is geen toeval. Wanneer de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn, zijn de cijfers vergelijkbaar. Dit bevestigt dat de driehoeken in de afbeelding gelijkvormig zijn, omdat ze voldoen aan de voorwaarden afgeleid van de stelling van Thales. Hoewel we Thales vaak associëren met parallelle lijnen die transversale lijnen doorsnijden, is het kernconcept hier proportionaliteit. Als de zijden met dezelfde factor worden geschaald, blijven de hoeken ongewijzigd en zijn de vormen geometrisch identiek, alleen het formaat ervan wordt gewijzigd.
Voor een bredere context over geometrische bewijzen wil je misschien ook de stelling van Pythagoras en andere fundamentele stellingen bekijken die vormeigenschappen bepalen.
Oefenoefeningen over de stelling van Thales
Theorie betekent weinig zonder toepassing. Om echt te begrijpen hoe de stelling van Thales in verschillende scenario’s werkt, moet je problemen oplossen waarvoor je proportionele segmenten moet identificeren. Hieronder vindt u oefeningen om uw begrip te testen.
Oefening 1
Beschouw het volgende figuur:
Gebruik het verhaal van Tales om de lengte van het segment voor Christus te benadrukken
Je ziet het segmento bc mide 6 metros. Is het mogelijk dat dit precies is? De cijfers die analyses uitvoeren, worden transversaal onderschept door drie rectas parallellen. De gegevens die ten grondslag liggen aan de man zijn concreet:
- El segmento ab midden 3 metro’s.
- El segmento a’b’ midden 5 metro’s.
- El segmento b’c’ midden 10 metro’s.
Om de moed te ontdekken, bestaan er heldere camino’s. Afhankelijk van de evenredigheid is het de vestiging van Teorema de Tales.
Methode 1: Gebruik de corresponderende segmenten
De logica is sencilla. Als de rectas parallel zijn, is de relatie tussen de segmenten van een transversaal identiek aan de rest. Er wordt gezegd dat het tussen a’b’ en b’c’ is dat het tussen ab en bc ligt.
Planteamos la gelijkwaardigheid:
Het scheermes tussen a’b’ en b’c’ is igual het scheermes tussen ab en bc.
Als u de waarde van conocidos wilt zien:
$$ \frac{5}{10} = \frac{3}{bc} $$
Vereenvoudig de fracción van de izquierda. Cinco sobre diez es exactamente la mitad, o zee, 0.5. Ahora la ecuación se ve así:
$$ 0,5 = \frac{3}{bc} $$
Om bc te voorkomen, kunnen meerdere handelingen of eenvoudigweg de bediening worden omgekeerd. Als 3 de helft van 0,5 verdeelt, zal deze al een dubbele van 3 zijn.
$$ bc = \frac{3}{0,5} $$
$$ bc = 6 $$
Het resultaat is duidelijk: bc = 6 metros.
Methode 2: Igualdades regisseert Teorema de Tales
Het is niet nodig om tussendoor een decimaal getal te berekenen. Het apparaat maakt het mogelijk om rechtstreekse segmentproducten te produceren. Een van de snellere schrijfvormen is:
$$ ab \cdot b’c’ = bc \cdot a’b’ $$
Soorten nummers die u gebruikt:
$$ 3 \cdot 10 = bc \cdot 5 $$
Vermenigvuldig de aansluitpunten van de lado:
$$ 30 = 5 \cdot bc $$
Ahora, verdeeld over de jongens door 5 voor aislar bc :
$$ bc = \frac{30}{5} $$
$$ bc = 6 $$
Het mismo-resultaat. Er zijn verschillende methoden. Er is een antwoord.
Ejercicio 2
Let op de volgende figuren, terwijl de jongens midden in de centimeter zitten:
Bereken de incógnita X met de verhalen van Tales
De uiteindelijke waarde van X is 4,67 centimeter. Voor alle duidelijkheid: het segment CB’ midden 7 centimeter, B’B is 5 centimeter en AB heeft een lengte van 8 centimeter. De incógnita X vertegenwoordigt het exacte segment van A’B’.
De strategie om te beginnen is gebaseerd op de toepassing van Tales-verhalen. Eerst moet u de totale lengte van het segment CB bepalen. Dit is het geval bij de conocidas-partijen: CB’ en B’B.
Als de lengte van de CB volledig is, kan de volgende pas de verhouding van de proportionele verhouding tussen de cijfers bepalen. Het is een nummer dat verbinding maakt met de dimensies met de incógnitas.
Als de verhouding is dat X. Als X correspondeert met het segment A’B’, is de uiteindelijke verdeling het betonresultaat: 4,67 cm.
“Het verhaal van de verhalen maakt het mogelijk om segmenten van parallelle cortado’s te verbinden met elkaar, waarbij het mogelijk is om lengtegraden te vinden die tussen de gemiddelde verhoudingen liggen.”
Ejercicio 3
Nu kunt u een zaak oplossen die meer compleet is. In de volgende figuren worden de waardes van de drie incognities weergegeven: X, Y en Z.
Je hebt de laatste finales gespeeld: X = 6, Y = 12 en Z = 10. De waarde van de verdadero is een van de beste dingen die er zijn. Geen enkele herinnering aan aantallen, de dominante logica van de evenredige segmentatie.
Cómo berekende lengtegraden desconocidas paso a paso
Werkzaam door X. In dit geval zijn de volgende gegevens van toepassing: de lengte van het segment BC is 9 en BB’ is 3. De bediening is direct. Solo necesitas herstarten.
9 menu’s 3 en igual a 6.
Dus, X = 6.
Ahora, de draai van Y, die het segment AB vertegenwoordigt. Als dit gebeurt, kan het interessanter zijn. Geen puedes herstarten; Het is noodzakelijk om de evenredige verhouding tussen de volgende driehoeken in te stellen.
Om dit te bereiken, gebruiken we de segmenten BC en B’C. Eens deze factor de escalatie heeft, wordt het verhaal van Tales toegepast op de segmenten AB en A’B’. Vermenigvuldig de lengtegraad door het bereik en de lijst.
J = 12.
Het proces voor Z is identiek aan de voorkant. Identificatie van corresponderende segmenten, toepassingen van de meeste proportionele logica en resulteren in de basis van de economie.
Het uiteindelijke resultaat is Z = 10.
Controleer uw begrip met de bevestigingen
Is het zeker dat u de juego-regelgeving krijgt? In het menu stellen de studenten de voorwaarden voor de periode vast. De analyse wordt bevestigd om de werkelijkheid te scheiden.
Het verhaal over de verhalen van Tales
Een bevestiging is dat de transversale lijn geen cortadas nodig heeft voor rectas paralelas. Dit is een fout.
Omdat het verhaal van Tales wordt toegepast, worden de transversale lijnen onderschept door rectas paralelas. Zonde paralelismo, geen garantie voor proporcionalidad.
Tampoco is het feit dat de teorema solo functioneert met exact dezelfde parallelle en transversale verkoop. Er kunnen lijnen worden gekoppeld aan de noodzaak van transversale verkoop. De proportionele werking is altijd zo dat de lijnen parallel lopen.
Definitie van nauwkeurige triángulos-semejantes
Er kunnen meer fouten optreden. Is het voldoende als de driehoeken de verkeerde vorm krijgen?
Nee. De volgende voorwaarden zijn streng:
1. De inschrijvingen zijn geldig.
2. De correspondenten zijn proportioneel.
Als de jongens “niet in verhouding staan” is er sprake van een fundamentele fout. Als de kinderen een constante verhouding hebben, is er geen sprake van een constante verhouding, geen enkele triangulatie in het gevoelsmatige mate waarin het gebruik van Tales op berekende lengtegraden wordt toegestaan.
De juiste bevestigingen in deze context zijn dat de segmenten gevormd worden door de intersectie van de transversale lijnen en de parallelle koppelingen zijn over de gehele linie proportioneel, en dat een deel ervan een aantal iguales vereist, een identieke vorm
