Questa domanda ha occupato le menti più brillanti fin dall’inizio del secolo. Fu introdotto da Henri Poincaré nel 1904. Tentò di classificare le varietà ma si scontrò con un muro. Lo spazio tridimensionale si comportava diversamente da quanto potesse facilmente immaginare. Si chiese se tutte le varietà tridimensionali chiuse semplicemente connesse corrispondessero topologicamente alla 3-sfera. Questa è la congettura di Poincaré.
Era lì da molto tempo. E’ solo una supposizione. Problemi aperti di topologia algebrica. Oggi questo è un teorema dimostrato. Ma per arrivarci ci sono voluti più di 100 anni e sono state necessarie alcune delle menti più acute in matematica.
Cosa significano effettivamente questi termini
Non è necessario un dottorato di ricerca per capirlo, ma le definizioni sono importanti. Ecco come scomporlo:
“Semplicemente connesso” sembra tecnico, ma significa semplicemente che non ci sono buchi nello spazio. Pensa a un palloncino. Non ci sono buchi. Una ciambella sì. C’è un buco al centro della ciambella. I palloncini sono semplicemente collegati.
“Chiuso” è più preciso. Ciò significa che la forma contiene tutti i suoi punti limite. Se è abbastanza vicino a uno dei bordi, anche gli altri punti del gruppo saranno vicini. Non ci sono bordi sciolti o spazi vuoti.
La varietà 3D è una versione astratta di una superficie curva. Viviamo nello spazio 3D. Una varietà è uno spazio che localmente assomiglia al nostro spazio, sebbene sia distorto globalmente.
“Equivalenza topologica” (o omeomorfismo) significa che una forma può essere allungata, attorcigliata o piegata in un’altra senza strappare la forma o incollare insieme le parti. Se riesci a farlo, sono identici da un punto di vista topologico.
Una 3-sfera (denotata S 3) è un insieme di punti nello spazio quadridimensionale che si trovano a una distanza fissa dall’origine. Questa è una generalizzazione ad alta dimensione di una sfera regolare.
Cronologia delle dimensioni
Questa speculazione non è limitata al 3D. Poincaré estese successivamente questa idea a n dimensioni. Propose che ogni varietà compatta n dimensionale è omotopica equivalente alla sfera n se e solo se è omeomorfa alla sfera n. In parole povere, una sfera n è uno spazio dimensionale n limitato e senza buchi.
I matematici studiano i problemi una dimensione alla volta.
- **Se n = 1: ** Questo è facile. Una varietà unidimensionale compatta, chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a un cerchio. Semplice.
- **Se n = 2: ** Questa è una sfera ordinaria. Questo problema fu risolto nel XIX secolo.
- N ≥ 5: Nel 1961, il matematico americano Stephen Smale dimostrò che questa ipotesi era vera per queste dimensioni superiori. Ha vinto la Medaglia Fields per questo lavoro.
- Se n = 4: Il matematico americano Michael Freedman ha risolto questo problema nel 1983. I casi 4D sono complicati perché le dimensioni interagiscono. Ha vinto anche la medaglia Fields.
- N = 3: Questa è la parte più difficile. La congettura originale di Poincaré.
Soluzione 3D
Il caso n = 3 rimase irrisolto finché Grigori Perelman non lo propose.
Perelman era un matematico russo. Nel 2002, ha pubblicato la sua prova online. Inizialmente non lo ha sottoposto a una rivista sottoposta a revisione paritaria. Lo ha pubblicato su Internet. Ciò ha causato scalpore. Le dimostrazioni in forme non tradizionali dovevano essere verificate dalla comunità matematica.
Altri matematici passarono anni a verificare il suo lavoro. Hanno confermato che questo è corretto. La dimostrazione si basa sulla teoria del flusso di Ricci di Richard Hamilton, che Perelman perfezionò e applicò per risolvere il problema.
Perelman ha ricevuto la Medaglia Fields nel 2006 per i suoi contributi. ha rifiutato. Ha anche diritto a una ricompensa di 1 milione di dollari dal Clay Mathematics Institute (CMI) di Cambridge, Massachusetts. Questo è uno dei sette problemi del Millennio. Anche Perelman ha rifiutato questo.
CMI era riluttante a premiare i finanziamenti perché Perelman non aveva pubblicato un articolo su una rivista sottoposta a revisione paritaria come richiesto. Fu solo nel 2010, quando altri matematici pubblicarono conferme su riviste peer-reviewed, che CMI offrì un premio di 1 milione di dollari. Perelman rifiutò nuovamente.
Perché è importante?
La congettura di Poincaré non è solo una risposta banale. Ci aiuta a comprendere la forma dell’universo. Se l’universo è una varietà tridimensionale, è semplicemente connesso? Ci sono dei buchi? Gli strumenti sviluppati per dimostrare questa congettura hanno cambiato la topologia. Permettono ai matematici di classificare spazi che prima avevano solo sognato.
Mostra anche come si è sviluppata la matematica. Smale e Freedman hanno risolto parte del puzzle. Perelman lo finì. Ma la storia non finisce con premi in denaro o medaglie. Si conclude con una comprensione più profonda dello spazio stesso.
