Pertanyaan ini telah memenuhi pikiran paling cerdas sejak awal abad ini. Ini diperkenalkan oleh Henri Poincaré pada tahun 1904. Dia mencoba mengklasifikasikan manifold tetapi menemui jalan buntu. Ruang tiga dimensi berperilaku berbeda dari yang bisa dia bayangkan. Dia bertanya-tanya apakah semua lipatan tiga dimensi tertutup yang terhubung secara topologi bersesuaian dengan bola-3. Ini adalah dugaan Poincaré.
Itu sudah lama ada di sana. Itu hanya dugaan. Buka masalah dalam topologi aljabar. Saat ini, ini adalah teorema yang terbukti. Namun untuk mencapainya membutuhkan waktu lebih dari 100 tahun dan membutuhkan pemikiran paling tajam dalam matematika.
Arti sebenarnya dari istilah-istilah ini
Anda tidak memerlukan gelar PhD untuk memahami hal ini, tetapi definisi itu penting. Berikut cara memecahnya:
“Cukup terhubung” terdengar teknis, tetapi itu berarti tidak ada lubang di ruang tersebut. Bayangkan sebuah balon. Tidak ada lubang. Donat bisa. Ada lubang di tengah donat. Balon-balon tersebut disambungkan secara sederhana.
“Tertutup” lebih akurat. Artinya, bangun tersebut memuat semua titik batasnya. Jika jaraknya cukup dekat dengan salah satu sisi, titik-titik lain dalam grup juga akan berdekatan. Tidak ada tepian atau celah yang longgar.
Manifold 3D adalah versi abstrak dari permukaan melengkung. Kita hidup di ruang 3D. Manifold adalah suatu ruang yang secara lokal terlihat seperti ruang kita, meskipun terpelintir secara global.
“Kesetaraan topologi” (atau homeomorfisme) berarti bahwa satu bentuk dapat diregangkan, dipelintir, atau dibengkokkan menjadi bentuk lain tanpa merobek bentuk tersebut atau merekatkan bagian-bagiannya. Jika Anda bisa melakukan itu, keduanya identik dari sudut pandang topologi.
3-bola (dilambangkan S 3) adalah sekumpulan titik dalam ruang empat dimensi yang berjarak tetap dari titik asal. Ini adalah generalisasi dimensi tinggi dari bola biasa.
Garis waktu dimensi
Spekulasi ini tidak terbatas pada 3D. Poincaré kemudian memperluas ide ini ke dimensi n. Dia mengusulkan bahwa setiap manifold berdimensi n yang kompak setara dengan homotopi dari bola n jika dan hanya jika ia homeomorfik ke bola n. Sederhananya, bola n adalah ruang berdimensi n yang dibatasi satu-satunya tanpa lubang.
Matematikawan mempelajari masalah satu dimensi pada satu waktu.
- **Jika n = 1: ** Ini mudah. Manifold satu dimensi yang kompak, tertutup, dan terhubung sederhana bersifat homeomorfik terhadap lingkaran. Sederhana.
- **Jika n = 2: ** Ini adalah bola biasa. Masalah ini terpecahkan pada abad ke-19.
- N ≥ 5: Pada tahun 1961, ahli matematika Amerika Stephen Smale menunjukkan bahwa asumsi ini berlaku untuk dimensi yang lebih tinggi. Dia memenangkan Fields Medal untuk pekerjaan ini.
- Jika n = 4: Matematikawan Amerika Michael Freedman memecahkan soal ini pada tahun 1983. Kasus 4D rumit karena dimensinya berinteraksi. Dia juga memenangkan Medali Fields.
- N = 3: Ini adalah bagian tersulit. Dugaan asli Poincaré.
Solusi 3D
Kasus n = 3 masih belum terselesaikan sampai Grigori Perelman mengusulkannya.
Perelman adalah seorang matematikawan Rusia. Pada tahun 2002, dia memposting buktinya secara online. Dia awalnya tidak mengirimkannya ke jurnal peer-review. Dia mempostingnya di Internet. Hal ini menimbulkan kehebohan. Pembuktian dalam bentuk non-tradisional harus diverifikasi oleh komunitas matematika.
Matematikawan lain menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk memeriksa karyanya. Mereka memastikan kebenarannya. Pembuktiannya didasarkan pada teori aliran Ricci karya Richard Hamilton, yang disempurnakan dan diterapkan Perelman untuk memecahkan masalah tersebut.
Perelman menerima Fields Medal pada tahun 2006 atas kontribusinya. dia menolak. Dia juga berhak mendapatkan hadiah $1 juta dari Clay Mathematics Institute (CMI) di Cambridge, Massachusetts. Ini adalah salah satu dari tujuh Masalah Milenium. Perelman pun menolaknya.
CMI enggan memberikan penghargaan atas pendanaan karena Perelman tidak menerbitkan makalah di jurnal peer-review seperti yang mereka perlukan. Baru pada tahun 2010, ketika ahli matematika lain menerbitkan konfirmasi di jurnal peer-review, CMI menawarkan hadiah $1 juta. Perelman kembali menolak.
Mengapa ini penting?
Dugaan Poincaré bukan sekadar jawaban sepele. Ini membantu kita memahami bentuk alam semesta. Jika alam semesta merupakan manifold tiga dimensi, apakah ia terhubung secara sederhana? Apakah ada lubang? Alat yang dikembangkan untuk membuktikan dugaan ini telah mengubah topologi. Mereka memungkinkan ahli matematika untuk mengklasifikasikan ruang yang sebelumnya hanya mereka impikan.
Ini juga menunjukkan bagaimana matematika berkembang. Smale dan Freedman memecahkan sebagian dari teka-teki tersebut. Perelman menyelesaikannya. Namun ceritanya tidak berakhir dengan hadiah uang atau medali. Hal ini diakhiri dengan pemahaman yang lebih mendalam tentang ruang itu sendiri.
