Cette question occupe les esprits les plus brillants depuis le début du siècle. Elle a été introduite par Henri Poincaré en 1904. Il a tenté de classer les variétés mais s’est heurté à un mur. L’espace tridimensionnel se comportait différemment de ce qu’il pouvait facilement imaginer. Il se demandait si toutes les variétés tridimensionnelles fermées simplement connectées correspondaient topologiquement à la 3-sphère. C’est la conjecture de Poincaré.
C’était là depuis longtemps. C’est juste une supposition. Problèmes ouverts en topologie algébrique. Aujourd’hui, c’est un théorème prouvé. Mais pour y parvenir, il a fallu plus de 100 ans et a nécessité certains des esprits les plus pointus en mathématiques.
Que signifient réellement ces termes
Vous n’avez pas besoin d’un doctorat pour comprendre cela, mais les définitions sont importantes. Voici comment le décomposer :
« Simplement connecté » semble technique, mais cela signifie simplement qu’il n’y a pas de trous dans l’espace. Pensez à un ballon. Il n’y a pas de trous. Un beignet, oui. Il y a un trou au centre du beignet. Les ballons sont simplement connectés.
“Fermé” est plus précis. Cela signifie que la forme contient tous ses points limites. S’il est suffisamment proche de l’un ou l’autre bord, les autres points du groupe seront également proches. Il n’y a pas de bords lâches ni d’espaces.
Le collecteur 3D est une version abstraite d’une surface courbe. Nous vivons dans un espace 3D. Une variété est un espace qui ressemble localement à notre espace, bien qu’il soit globalement tordu.
« L’équivalence topologique » (ou homéomorphisme) signifie qu’une forme peut être étirée, tordue ou pliée dans une autre sans déchirer la forme ni coller les pièces ensemble. Si vous y parvenez, ils sont identiques d’un point de vue topologique.
Une 3-sphère (notée S 3) est un ensemble de points dans un espace à quatre dimensions qui se trouvent à une distance fixe de l’origine. Il s’agit d’une généralisation de grande dimension d’une sphère régulière.
Chronologie des dimensions
Cette spéculation ne se limite pas à la 3D. Poincaré a ensuite étendu cette idée à n dimensions. Il a proposé que chaque variété compacte à n dimensions soit équivalente en homotopie à la sphère n si et seulement si elle est homéomorphe à la sphère n. En termes simples, une sphère n est un espace dimensionnel n uniquement délimité sans trous.
Les mathématiciens étudient les problèmes une dimension à la fois.
- **Si n = 1 : ** C’est facile. Une variété unidimensionnelle compacte, fermée et simplement connectée est homéomorphe à un cercle. Simple.
- **Si n = 2 : ** Il s’agit d’une sphère ordinaire. Ce problème a été résolu au 19ème siècle.
- N ≥ 5 : En 1961, le mathématicien américain Stephen Smale a montré que cette hypothèse était vraie pour ces dimensions supérieures. Il a remporté la médaille Fields pour ce travail.
- Si n = 4 : Le mathématicien américain Michael Freedman a résolu ce problème en 1983. Les cas 4D sont délicats car les dimensions interagissent. Il a également remporté la médaille Fields.
- N = 3 : C’est la partie la plus difficile. La conjecture originale de Poincaré.
Solution 3D
Le cas n = 3 est resté non résolu jusqu’à ce que Grigori Perelman le propose.
Perelman était un mathématicien russe. En 2002, il a mis sa preuve en ligne. Il ne l’a pas initialement soumis à une revue à comité de lecture. Il l’a posté sur Internet. Cela a fait sensation. Les preuves sous des formes non traditionnelles devaient être vérifiées par la communauté mathématique.
D’autres mathématiciens ont passé des années à vérifier son travail. Ils ont confirmé que c’était exact. La preuve est basée sur la théorie des flux de Ricci de Richard Hamilton, que Perelman a raffinée et appliquée pour résoudre le problème.
Perelman a reçu la médaille Fields en 2006 pour ses contributions. il a refusé. Il est également éligible à une récompense d’un million de dollars du Clay Mathematics Institute (CMI) de Cambridge, dans le Massachusetts. C’est l’un des sept problèmes du millénaire. Perelman a également rejeté cette idée.
Le CMI était réticent à récompenser le financement parce que Perelman n’avait pas publié d’article dans une revue à comité de lecture comme ils l’exigeaient. Ce n’est qu’en 2010, lorsque d’autres mathématiciens ont publié des confirmations dans des revues à comité de lecture, que le CMI a offert un prix d’un million de dollars. Perelman a de nouveau refusé.
Pourquoi est-ce important ?
La conjecture de Poincaré n’est pas seulement une réponse triviale. Cela nous aide à comprendre la forme de l’univers. Si l’univers est une variété tridimensionnelle, est-il simplement connecté ? Y a-t-il des trous ? Les outils développés pour prouver cette conjecture ont changé la topologie. Ils permettent aux mathématiciens de classer des espaces dont ils rêvaient auparavant.
Il montre également comment les mathématiques se sont développées. Smale et Freedman ont résolu une partie du puzzle. Perelman l’a terminé. Mais l’histoire ne s’arrête pas aux prix en argent ou aux médailles. Cela se termine par une compréhension plus approfondie de l’espace lui-même.
