Podívejte se na dvě číselné řady. Jeden z nich je horizontální. Druhý je vertikální. Prolínají se. Průsečík je počátek neboli nula. Tato konstrukce se nazývá kartézská rovina. Může být také nazýván souřadnicovým systémem.
Cíl je jednoduchý. Přesně určit umístění. Každý bod na mřížce má svou jedinečnou adresu. Tato adresa je dána souřadnicemi. Označují přesnou polohu bodu vzhledem ke středu.
Ale to není jen kreslení bodů. Toto je figurální analýza. Můžete studovat paraboly. Na této rovině fungují i hyperboly. Rovně? kruhy? Elipsy? Všechny zde existují. To je základ analytické geometrie.
Kartézská rovina převádí vizuální tvary do matematických dat.
Proč je to důležité? Potřebujete přesnost. Abstraktní matematika se bez mřížky stává matoucí. Plochost dává strukturu. Proměňuje geometrii v čísla. Vzdálenosti lze vypočítat. Můžete najít úhly sklonu. Tvary křivek lze předvídat.
Studenti mají s tímto konceptem zpočátku často potíže. Osy se zdají být libovolné. Čtyřky se zdají nadbytečné. Ale jakmile na to přijdete, vše bude jasné. Je to jen mapa. Mapa pro čísla.
Přemýšlejte o tom, kde se s tím setkáte. Systémy GPS používají podobné sítě. Ve videohrách jsou světy zobrazeny na mřížkách. Architekti kreslí na mřížkách. Tento koncept je všude. Jen se tomu tak vždy neříká.
Nemusíte se učit všechno najednou. Začněte s osami. Pochopte původ. Poté pokračujte k vykreslování bodů. Zbytek se vyjasní sám. Díky praxi je to intuitivní.
Zdá se to drsné? Možná. Ale právě v této strnulosti je její síla. Vytváří řád. Zajišťuje přesnost. Ve světě aproximací je přesnost vzácná. A hodnotu.
Jak získalo své jméno kartézské letadlo
Mřížka, kterou vidíte ve třídě algebra, není jen náhodná kresba. Je pojmenována po René Descartesovi, francouzském filozofovi a matematikovi, který v podstatě vynalezl moderní analytickou geometrii. Jako první znázornil body pomocí systému os, přeměňoval abstraktní tvary na čísla. Před ním byly geometrie a algebra z velké části samostatné obory. Svázal je.
Rovinné prvky
Abyste letadlo skutečně používali, musíte znát jeho části. Skládá se ze čtyř hlavních komponent: souřadnicových os, počátku, kvadrantů a samotných souřadnic. Pojďme si je rozebrat, aby byly zapamatovatelné.
Souřadnicové osy
Základem celého systému jsou dvě na sebe kolmé protínající se čáry. Říká se jim osa x a osa y.
Představte si je jako nitkový kříž. Vodorovná čára je osa x. Vertikální je osa y. Kde se protínají? To je výchozí bod pro všechno. Tyto čáry rozdělují rovinu na čtyři samostatné sekce. Poskytují referenční rámec, který umožňuje určit jakékoli místo v prostoru pomocí pouhých dvou čísel.
Souřadnicové osy jsou pouze dvě přímky protínající se v pravém úhlu 90 stupňů. Protínají se v jednom bodě roviny. Tento průsečík vytváří základní strukturu pro umístění libovolného objektu do dvourozměrného prostoru. Čára jdoucí zleva doprava se nazývá abscissa. Čára jdoucí shora dolů je ordináta.
Úsečka je vodorovná. Označuje se vždy písmenem x. Představte si to jako horizont. Pořadnice je svislá. Označuje se písmenem y. Toto je čára, která definuje výšku. Tyto dvě na sebe kolmé čáry dohromady tvoří mapu potřebnou ke čtení grafů, vykreslování funkcí nebo jednoduše k nalezení něčeho v rovině.
Pokud chcete dobře porozumět základům geometrie, věnujte pozornost tomu, jak jsou definovány směry. Horizontální směr sleduje osu x. Vertikální směr sleduje osu y. Jedná se o různé, ale související pojmy. Kolmé čáry jsou pravidlem, které drží vše na svém místě.
Počátek nebo bod 0
Bod, ve kterém se úsečka a pořadnice protínají, má svůj vlastní název. Říká se tomu původ. Toto je nulový bod. Tady to všechno začíná. Souřadnice v tomto bodě jsou (0, 0). Neexistuje žádný posun doprava nebo nahoru. Nachází se v absolutním středu kartézského souřadnicového systému.
Toto je kotva. Pokud se přesunete napravo od počátku, vaše hodnoty x jsou kladné. Pokud se posunete doleva, jsou záporné. Totéž platí pro vertikální směr. Nad počátkem je hodnota y kladná. Níže je negativní. Tento nulový bod je počátečním referenčním bodem. Bez něj byste neměli pevný bod, ze kterého byste mohli měřit vzdálenosti nebo vykreslovat křivky.
Vizuální jasnost pomáhá. Představte si kus papíru. Nakreslete vodorovnou čáru. Nakreslete další svislou čáru, která přeřízne první na polovinu. Průsečík je váš výchozí bod. Vše ostatní je postaveno z tohoto bodu.
Kvadranty kartézské roviny
Mřížka není omezena pouze na čáry. Když se tyto kolmé osy protnou, rozdělí plochý povrch na čtyři různé zóny. Toto jsou kvadranty. Nejsou svévolné. Existují kvůli tomu, jak definujeme pozitivní a negativní prostor kolem centrálního původu.
Představte si to jako mapu. Stojíte uprostřed. Při pohledu doprava? Toto je pozitivní území. Podíváte se nahoru? Také pozitivní. Ale jdeš doleva? Najednou se ocitnete v negativní zóně. Jdeš dolů? To samé. To vytváří specifickou logiku pro každý bod v grafu.
Kvadranty jsou označeny římskými číslicemi, ale číslování nezačíná od jedné. Začíná od pravého horního rohu. Proč? Příběh. A tradice. Takto se matematici jednoduše dohodli na počítání.
Zde je návod, jak jsou distribuovány:
Kvadrant I: Šťastné místo
Pravý horní roh. X i y jsou kladné. Pokud vidíte bod jako (3, 5), nachází se zde. Všechny body jsou umístěny nad a napravo od počátku. Jen.
Kvadrant II: Zahněte doleva
Levý horní roh. Zde je x záporné. y je stále kladné. Posunuli jste se doleva od středu, ale zůstali jste nahoře. Sem patří vyhlídka (-2, 4).
Kvadrant III: Levý dolní roh
Nyní jsou obě hodnoty záporné. Šli jste doleva (záporné x) a dolů (záporné y). Je to zrcadlový obraz kvadrantu I, ale převrácený na obou osách. Bod (-3, -5) je tady.
Kvadrant IV: Pravý dolní roh
Smíšená varianta. x je kladné (vpravo), ale y je záporné (dolů). Zde to začíná být zajímavé při vykreslování funkcí. Zde spadá hledisko (4, -2).
Proč jsou kvadranty důležité
Není to jen o označování. Je to otázka směru. Když nakreslíte čáru, kvadrant ukazuje chování sklonu. Linie začínající v kvadrantu I a směřující ke kvadrantu III? To je pozitivní sklon. Při pohybu doprava stoupá. Přesun z kvadrantu II do IV? Negativní sklon. Při pohybu doprava klesá.
Bez těchto zón jsou souřadnice pouze čísla. S těmi se stávají údaji o poloze. Vyprávějí příběh o pohybu a poloze.
Jak určit svůj kvadrant
Potřebujete vědět, do které zóny bod patří? Zkontrolujte značky.
- Podívejte se na souřadnici x. Je pozitivní nebo negativní?
- Podívejte se na souřadnici y. Je pozitivní nebo negativní?
- Přiřaďte pár k mřížce.
Pozitivní/pozitivní = I. kvadrant
Negativní/pozitivní = kvadrant II
Negativní/Negativní = Kvadrant III
Pozitivní/negativní = kvadrant IV
Vypadá to mechanicky. To je pravda. Ale jakmile se to naučíte, váš mozek to udělá okamžitě. Vidíte (-1, 3) a víte, že je to levý horní roh, aniž byste nakreslili čáru.
Samotné nápravy
Zde je triková otázka pro test: Je původ v kvadrantu?
Ne.
Body, které leží přesně na ose x nebo y, nepatří do žádného kvadrantu. Jsou na hranici. Počátek (0,0) je průsečík. Toto je práh. Pokud má bod
Pochopení kvadrantů a souřadnic
Pro zobrazení libovolného bodu na rovném povrchu je potřeba mřížka. Tato mřížka je vytvořena dvěma navzájem kolmými čarami, které se navzájem protínají. Průsečík rozděluje rovinu na čtyři různé části nazývané kvadranty. Představte si je jako čtyři místnosti v domě, kde každý bod na celé rovině musí být v jedné z nich.
Tradičně jsou tyto oblasti označeny římskými číslicemi, pohybujícími se proti směru hodinových ručiček, začínající v pravém horním rohu.
- Kvadrant I : Jak horizontální hodnota (úsečka), tak vertikální hodnota (ordináta) jsou kladné.
- Kvadrant II : Horizontální hodnota je záporná, zatímco vertikální hodnota zůstává kladná.
- Kvadrant III : Zde jsou obě hodnoty záporné.
- Kvadrant IV : Horizontální hodnota je kladná, ale vertikální hodnota je záporná.
Tato struktura není libovolná. Vytváří konzistentní jazyk pro definování umístění. Pokud víte, ve kterém kvadrantu se bod nachází, okamžitě znáte znaky jeho souřadnic, aniž byste se podívali na samotná čísla.
Jak najít souřadnice v kartézské rovině
Souřadnice jsou jednoduše adresou bodu. Označují přesně, kde se tento bod nachází, přiřazením hodnoty vodorovné osy (x) a hodnoty svislé osy (y). To se zapisuje jako P (x, y).
- P označuje konkrétní bod.
- x je úsečka, která měří posunutí doleva nebo doprava.
- y je ordináta, která měří posunutí nahoru nebo dolů.
Hledání těchto čísel je mechanický proces. Nehádáš. Promítáte.
Začněte v bodě P. Nakreslete přímku dolů (nebo nahoru), dokud neprotne osu x. Tato přímka je ortogonální projekce. Číslo, kterým se tato čára dotýká osy x, je vaše souřadnice x.
Potom nakreslete čáru z bodu P vodorovně, dokud neprotne osu y. Toto je projekce na osu y. Toto číslo je vaše souřadnice y.
Tato čísla mohou být kladná nebo záporná v závislosti na tom, ve kterém kvadrantu se bod nachází.
Například pokud máte bod ve druhém kvadrantu, okamžitě víte, že souřadnice x musí být záporná a souřadnice y kladná. Nakreslíte svislou čáru k ose x a odečtete záporné číslo. Nakreslíte vodorovnou čáru k ose y a odečtete kladné číslo. Na pořadí záleží. (x, y) není totéž jako (y, x). Prohoďte je a ocitnete se úplně jinde.
Podívejme se na konkrétní souřadnice pro každou část mřížky. V kvadrantu I má bod P souřadnice (2, 3). Přejděte do Kvadrantu II a bod P bude v bodě (-3, 1). Jděte dolů do kvadrantu III a najdete bod P na pozici (-3, -1). Konečně v IV kvadrantu se bod P nachází v bodě (3, -2).
Tato čísla nejsou jen abstraktní symboly. Toto jsou pokyny.
Pokud potřebujete přesně zjistit, kde na mřížce je konkrétní bod na základě jeho souřadnic, proces je mechanický, ale přesný. Nejprve nakreslete svislou čáru kolmou k ose x skrz první číslo, úsečku. Potom nakreslete vodorovnou čáru kolmou k ose y přes druhé číslo, pořadnici.
Bod, kde se tyto dvě čáry protínají, je vaše odpověď. Tento průsečík označuje přesné prostorové umístění bodu.
Například
Určení souřadnic bodů je základ. Vezměme si bod P (3,4). Jasně se nachází v prvním čtvrtletí. Číslo 3 označuje vodorovnou osu – úsečku. Číslo 4 označuje svislou osu – pořadnici. Pohybujete se doprava a pak nahoru. To je vaše pointa.
Změňte znamení. P (-3,-4) spadá do třetího čtvrtletí. Hodnota -3 vás posune doleva na ose x. Hodnota -4 vás posune po ose y dolů. Dvě různá místa. Dvě různá pravidla pro čtení souřadnicové sítě.
Jak funkce mapují vstupy na výstupy
Funkce zapsaná jako f(x)=y není jen symbol. Tohle je auto. Přebírá nezávislou proměnnou z definiční domény a transformuje ji na závisle proměnnou z oblasti hodnot.
Zvažte f(x)=3x.
Pravidlo je jednoduché. Vynásobte vstupní hodnotu třemi.
| Vstup funkce (x) | Provoz | Výstup(y) |
|---|---|---|
| 2 | 3 * 2 | 6 |
| 3 | 3 * 3 | 9 |
| 4 | 3 * 4 | 12 |
Každá vstupní hodnota odpovídá právě jedné výstupní hodnotě. Toto je osobní korespondence. Jedna ku jedné. Žádné dvojsmysly. Pokud zadáte číslo, dostanete konkrétní výsledek. Nic víc. Nic míň.
Tabulka bodů pro vykreslení
Chcete-li zobrazit graf funkce, nemůžete jen hádat. Musíte udělat stůl.
Zapisujete dvojice hodnot. Uspořádejte je. Poté jej aplikujte na kartézskou rovinu.
Zvažte následující konkrétní souřadnice:
- X=2, Y=3 se stává bodem (2,3).
- X=-4, Y=2 se stává bodem (-4,2).
- X=6, Y=-1 se stává bodem (6,-1).
Stůl vnáší řád do chaosu. Graf znázorňuje vzor.
Jaká metoda je nejlepší pro váš styl učení? Někteří studenti preferují nejprve vytvořit tabulku. Jiní si hned udělají rozvrh. Matematiku nezajímá, jakou možnost máte. Zajímá ji přesnost.
Začněte s osami. Najděte průsečík. Označte bod. Opakovat.
Letadlo na nikoho nečeká.
