Durante mais de dois milénios, os matemáticos debateram-se com uma questão fundamental sobre curvas – retas definidas por equações – nomeadamente, quantos pontos racionais elas contêm. Pontos racionais são aqueles cujas coordenadas podem ser expressas como números inteiros ou frações. Agora, uma equipe de matemáticos chineses alcançou um grande avanço, estabelecendo o primeiro limite superior universal para o número desses pontos em qualquer curva.
O desafio de longa data
As curvas, quer representem trajetórias de cometas ou tendências do mercado de ações, são objetos aparentemente simples. No entanto, determinar o número exato de pontos racionais sobre eles permaneceu indefinido. Os teóricos dos números há muito que procuram uma regra única aplicável a todas as curvas, um desafio que persiste apesar dos avanços no campo. Por que isso importa? Os pontos racionais não são apenas curiosidades teóricas: eles sustentam a criptografia, tornando esta pesquisa surpreendentemente relevante para aplicações do mundo real.
O Novo Limite
Os matemáticos chineses, num artigo divulgado a 2 de fevereiro, apresentaram uma fórmula que se aplica a todas as curvas, independentemente da sua complexidade. Não se trata de encontrar o número exato de pontos racionais; em vez disso, estabelece um máximo definitivo. As fórmulas anteriores eram limitadas em escopo ou dependentes da equação específica da curva. O novo resultado é “uniforme”, o que significa que funciona para qualquer curva sem a necessidade de que sua equação seja conhecida antecipadamente.
Como funciona
As curvas são definidas por equações polinomiais (como x² + y² = 1). O número de pontos racionais varia drasticamente dependendo do grau da equação (maior potência das variáveis). Curvas com grau 2 não possuem nenhum ou infinitos pontos racionais. Curvas de grau superior (grau 3 ou mais) podem ter um número finito. Em 1922, Louis Mordell conjecturou que todas as curvas com grau 4 ou superior têm um número finito de pontos racionais – uma afirmação comprovada em 1983 por Gerd Faltings.
Este novo avanço baseia-se no teorema de Faltings. A fórmula depende de dois fatores: o grau da curva e uma propriedade chamada “variedade jacobiana”, uma superfície construída a partir da curva. Quanto maior o grau, mais fraca se torna a afirmação, mas a fórmula ainda é válida.
Implicações e pesquisas futuras
As implicações são significativas. Como observa o matemático Barry Mazur, da Universidade de Harvard, este resultado “estabelece um novo padrão” para a compreensão das curvas. O trabalho não envolve apenas curvas em si. Os mesmos princípios se aplicam a formas de dimensões superiores (variedades) usadas na física teórica para modelar espaço e tempo.
Progressos recentes nesta área sugerem que um novo capítulo na teoria dos números está em andamento. Matemáticos como Hector Pasten e Jerson Caro já estabeleceram limites superiores em pontos racionais para superfícies, e esta última descoberta fornece impulso para futuras explorações.
A questão dos pontos racionais nas curvas – um problema que se estende há milénios – está agora mais perto de ser resolvida do que nunca. O novo resultado não é a resposta final, mas é um passo crucial para uma compreensão mais profunda destes objetos matemáticos fundamentais.
