Od ponad dwóch tysiącleci matematycy zmagają się z podstawowym pytaniem dotyczącym krzywych – linii zdefiniowanych za pomocą równań – a mianowicie, ile zawierają punktów wymiernych. Punkty wymierne to te, których współrzędne można wyrazić w postaci liczb całkowitych lub ułamków. Teraz zespół chińskich matematyków dokonał wielkiego przełomu, ustanawiając pierwszą uniwersalną górną granicę liczby takich punktów na dowolnej krzywej.
Długie badania
Krzywe, czy to trajektorie komet, czy wykresy giełdowe, wydają się prostymi obiektami. Jednak określenie dokładnej liczby racjonalnych punktów na nich pozostało nieuchwytne. Teoretycy liczb od dawna poszukiwali jednej reguły, która miałaby zastosowanie do wszystkich krzywych, a wyzwanie to pozostawało aktualne pomimo postępu w tej dziedzinie. Dlaczego to jest ważne? Racjonalne punkty to nie tylko teoretyczna moda: leżą u podstaw kryptografii, dzięki czemu badania te są zaskakująco istotne w zastosowaniach w świecie rzeczywistym.
Nowy limit
Chińscy matematycy w artykule opublikowanym 2 lutego przedstawili wzór, który ma zastosowanie do wszystkich krzywych, niezależnie od ich złożoności. Nie chodzi o znalezienie dokładnej liczby punktów wymiernych, ale raczej o ustalenie ostatecznego maksimum. Poprzednie formuły miały albo ograniczony zakres, albo były zależne od konkretnego równania krzywej. Nowy wynik jest „jednorodny”, co oznacza, że działa dla dowolnej krzywej bez wcześniejszej znajomości jej równania.
Jak to działa
Krzywe są definiowane za pomocą równań wielomianowych (np. x² + y² = 1). Liczba punktów wymiernych zmienia się radykalnie w zależności od stopnia równania (najwyższego stopnia zmiennych). Krzywe stopnia 2 albo nie mają punktów wymiernych, albo jest ich nieskończenie wiele. Krzywe wyższego stopnia (stopień 3 lub wyższy) mogą mieć skończoną liczbę. W 1922 roku Louis Mordell zaproponował, że wszystkie krzywe stopnia 4 lub wyższego mają skończoną liczbę punktów wymiernych, co zostało udowodnione w 1983 roku przez Gerda Faltingsa.
To nowe odkrycie opiera się na twierdzeniu Faltingsa. Wzór zależy od dwóch czynników: stopnia krzywizny i właściwości zwanej „jakobianem” powierzchni zbudowanej z krzywej. Im wyższy stopień, tym słabsze staje się stwierdzenie, ale formuła pozostaje aktualna.
Implikacje i przyszłe badania
Konsekwencje są znaczące. Jak zauważa matematyk Barry Mazur z Uniwersytetu Harvarda, wynik ten „wyznacza nowy standard” w rozumieniu krzywych. Ta praca nie dotyczy tylko samych krzywizn. Te same zasady dotyczą form wielowymiarowych (rozmaitości) stosowanych w fizyce teoretycznej do modelowania przestrzeni i czasu.
Niedawny postęp w tej dziedzinie sugeruje, że w teorii liczb rozpoczyna się nowy rozdział. Matematycy tacy jak Hector Pasten i Herson Caro ustalili już górne granice punktów wymiernych na powierzchniach, a to najnowsze odkrycie stanowi impuls do dalszych badań.
Kwestia racjonalnych punktów na krzywych, problem rozciągający się od tysiącleci, jest teraz bliższy rozwiązania niż kiedykolwiek wcześniej. Nowy wynik nie jest ostateczną odpowiedzią, ale stanowi ważny krok w kierunku głębszego zrozumienia tych podstawowych obiektów matematycznych.
