Tożsamości trygonometryczne to równania powiązane ze sobą różnymi funkcjami trygonometrycznymi. Są one prawdziwe dla dowolnej możliwej wartości kąta. Jedyną wymaganą zmienną jest sam kąt.
Rozważmy zależność pomiędzy sinusem i cosecansem dla kąta α.
sin(α) = 1 / csc(α)
To równanie pokazuje, że sinus jest odwrotnością cosecans i odwrotnie. Działa dla dowolnej wartości α. To właśnie to uniwersalne zastosowanie definiuje ją jako tożsamość.
Trzy główne kategorie
Większość podstawowych tożsamości trygonometrycznych można podzielić na trzy grupy:
- Tożsamości funkcji odwrotnych : pokazują odwrotną zależność między funkcjami (na przykład sin i csc, cos i sec, tan i cot).
- Tożsamości Pitagorasa : wyprowadzone z okręgu jednostkowego i twierdzenia Pitagorasa (na przykład sin²θ + cos²θ = 1).
- Tożsamości prywatne : wyrażaj tangens i cotangens jako stosunki (tangens θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ).
Oprócz tych trzech podstawowych typów, można wyprowadzić inne tożsamości w zależności od konkretnych funkcji i kątów, z którymi trzeba pracować.
Dlaczego „tożsamość” oznacza, że działa wszędzie
Często zadawane pytanie: Dlaczego tożsamości trygonometryczne dotyczą wszystkich kątów? Ponieważ opierają się na prawdach geometrycznych i algebraicznych, a nie na konkretnych przypadkach. Zależność sin(α) * csc(α) = 1 jest prawdziwa nie tylko przy 30 stopniach czy 90 stopniach. Jest to strukturalnie prawdziwe dla dowolnej liczby rzeczywistej α, dla której zdefiniowano funkcje. Dzięki temu są potężnym narzędziem do upraszczania wyrażeń i rozwiązywania równań bez konieczności wpisywania konkretnych liczb.
Główny wniosek: jeśli dla każdego dopuszczalnego kąta jest spełnione równanie funkcji trygonometrycznych, mamy do czynienia z tożsamością. Jeśli działa to tylko dla niektórych kątów, jest to po prostu równanie.
Jak tożsamości kofunkcyjne i parzystości upraszczają obliczenia trygonometryczne
Po opanowaniu podstawowych funkcji odwrotnych i połączeń opartych na twierdzeniu Pitagorasa, następny poziom staje się trudniejszy. Musisz zrozumieć, w jaki sposób kąty odnoszą się do kątów dopełniających i jak zachowują się funkcje, gdy zmienia się ich znak.
Tożsamości kofunkcyjne łączą funkcję trygonometryczną kąta z funkcją jego kąta dopełniającego. Działają, ponieważ na przykład sinus i cosinus opisują podobne, ale przesunięte trajektorie na okręgu jednostkowym. Jeśli znasz $\sin(30^\circ)$, możesz znaleźć $\cos(60^\circ)$ bez wykonywania nowych obliczeń. Pary wyglądają tak:
- $\sin(\theta) = \cos(90^\circ – \theta)$
- $\cos(\theta) = \sin(90^\circ – \theta)$
- $\tan(\theta) = \cot(90^\circ – \theta)$
- $\cot(\theta) = \tan(90^\circ – \theta)$
- $\sec(\theta) = \csc(90^\circ – \theta)$
- $\csc(\theta) = \sec(90^\circ – \theta)$
Wtedy jest parytet. Brzmi skomplikowanie, ale pytanie sprowadza się do jednego: czy funkcja jest symetryczna?
Tożsamości funkcji parzystych mają symetrię względem osi Y. Jeśli zmienisz znak kąta, wartość pozostanie taka sama.
– $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$
– $\sec(-\theta) = \sec(\theta)$
Tożsamości funkcji nieparzystych nie mają takiej symetrii. Jeśli zmienisz znak, wartość również zmieni znak.
– $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$
– $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$
– $\csc(-\theta) = -\csc(\theta)$
– $\cot(-\theta) = -\cot(\theta)$
Dlaczego to jest ważne? Ponieważ pozwala na natychmiastową pracę z kątami ujemnymi. Tabele przeglądowe nie są potrzebne.
Jakie wzory na sumę i różnicę kątów pozwalają znaleźć nieznane kąty?
Utknąłeś na węglu, jakieś 150^\circ$? Nie zgaduj. Podziel go na kawałki.
Tożsamości sumy i różnicy kątów pozwalają nam rozłożyć nieznany kąt na dwa już znane. Jeśli znasz wartości $240^\circ$ i $90^\circ$, możesz przedstawić $150^\circ$ jako $240^\circ – 90^\circ$ i na tej podstawie obliczyć wynik. To nie magia. To jest algebra z funkcjami trygonometrycznymi.
Wzory na sumę kątów wyglądają następująco:
– $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) – \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 – \tan(A)\tan(B)}$
Wzory na różnicę kątów są prawie identyczne, różnią się tylko znakiem minus w odpowiednich miejscach:
– $\sin(A – B) = \sin(A)\cos(B) – \cos(A)\sin(B)$
– $\cos(A – B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$
– $\tan(A – B) = \frac{\tan(A) – \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}$
To są konie robocze. Należy ich używać, gdy bezpośrednie obliczenia nie są możliwe.
W jaki sposób tożsamości podwójnego kąta rozszerzają formuły sumacyjne?
Tożsamości podwójnego kąta są szczególnym przypadkiem formuł sumarycznych, w których oba kąty są takie same. Jeśli postawimy $A = B$, wszystko stanie się prostsze.
Jeśli utknąłeś na poziomie 120 $^\circ$, ale masz świadomość, że jest to 60^\circ$, to jest dla ciebie wyjście.
– $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
– $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)$
– $\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 – \tan^2(\theta)}$
Możesz rozszerzyć te formuły na funkcje odwrotne:
– $\csc(2\theta) = \frac{1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}$
– $\sec(2\theta) = \frac{1}{\cos^2(\theta) – \sin^2(\theta)}$
– $\cot(2\theta) = \frac{1 – \tan^2(\theta)}{2\tan(\theta)}$
Oszczędzają czas. Zapobiegają błędom. Ułatwiają także opanowanie trudnych części trygonometrii, nawet jeśli zapis wydaje się na pierwszy rzut oka zniechęcający.
