Al meer dan twee millennia worstelen wiskundigen met een fundamentele vraag over curven (lijnen gedefinieerd door vergelijkingen), namelijk hoeveel rationale punten ze bevatten. Rationele punten zijn punten waarvan de coördinaten kunnen worden uitgedrukt als gehele getallen of breuken. Nu heeft een team van Chinese wiskundigen een grote doorbraak bereikt door de eerste universele bovengrens vast te stellen voor het aantal van dergelijke punten op elke curve.
De al lang bestaande uitdaging
Curven, of ze nu komeetpaden of aandelenmarkttrends vertegenwoordigen, zijn ogenschijnlijk eenvoudige objecten. Toch is het bepalen van het exacte aantal rationele punten daarop ongrijpbaar gebleven. Getaltheoretici hebben lang gezocht naar één enkele regel die op alle curven van toepassing is, een uitdaging die ondanks de vooruitgang op dit gebied blijft bestaan. Waarom doet dit er toe? Rationele punten zijn niet alleen maar theoretische curiosa: ze ondersteunen de cryptografie, waardoor dit onderzoek verrassend relevant is voor toepassingen in de echte wereld.
De nieuwe limiet
De Chinese wiskundigen hebben in een artikel dat op 2 februari werd gepubliceerd een formule gepresenteerd die op alle curven van toepassing is, ongeacht hun complexiteit. Dit gaat niet over het vinden van het exacte aantal rationele punten; in plaats daarvan wordt een definitief maximum vastgesteld. Eerdere formules hadden een beperkte reikwijdte of waren afhankelijk van de specifieke vergelijking van de curve. Het nieuwe resultaat is ‘uniform’, wat betekent dat het voor elke curve werkt zonder dat de vergelijking vooraf bekend hoeft te zijn.
Hoe het werkt
Curven worden gedefinieerd door polynoomvergelijkingen (zoals x² + y² = 1). Het aantal rationale punten varieert drastisch, afhankelijk van de graad van de vergelijking (de hoogste macht van de variabelen). Curven met graad 2 hebben geen of oneindige rationale punten. Krommen van hogere graden (graad 3 of meer) kunnen een eindig aantal hebben. In 1922 vermoedde Louis Mordell dat alle curven met graad 4 of hoger een eindig aantal rationale punten hebben – een bewering die in 1983 werd bewezen door Gerd Faltings.
Deze nieuwe doorbraak bouwt voort op de stelling van Faltings. De formule is afhankelijk van twee factoren: de mate van de curve en een eigenschap die de ‘Jacobiaanse variëteit’ wordt genoemd, een oppervlak dat uit de curve is opgebouwd. Hoe hoger de graad, hoe zwakker de uitspraak wordt, maar de formule geldt nog steeds.
Implicaties en toekomstig onderzoek
De gevolgen zijn aanzienlijk. Zoals wiskundige Barry Mazur van de Harvard University opmerkt, zet dit resultaat “een nieuwe standaard” voor het begrijpen van curven. Het werk gaat niet alleen over de rondingen zelf. Dezelfde principes zijn van toepassing op hoger-dimensionale vormen (spruitstukken) die in de theoretische natuurkunde worden gebruikt om ruimte en tijd te modelleren.
Recente vooruitgang op dit gebied suggereert dat er een nieuw hoofdstuk in de getaltheorie aan de gang is. Wiskundigen als Hector Pasten en Jerson Caro hebben al bovengrenzen gesteld aan rationele punten voor oppervlakken, en deze nieuwste bevinding biedt momentum voor verder onderzoek.
De kwestie van rationele punten op curven – een probleem dat millennia omspant – is nu dichter bij de oplossing dan ooit tevoren. Het nieuwe resultaat is niet het definitieve antwoord, maar het is een cruciale stap in de richting van een dieper begrip van deze fundamentele wiskundige objecten.
