Per oltre due millenni, i matematici sono stati alle prese con una questione fondamentale sulle curve – linee definite da equazioni – ovvero quanti punti razionali contengono. I punti razionali sono quelli le cui coordinate possono essere espresse come numeri interi o frazioni. Ora, un team di matematici cinesi ha compiuto un importante passo avanti, stabilendo il primo limite superiore universale al numero di tali punti su qualsiasi curva.
La sfida di lunga data
Le curve, che rappresentino i percorsi delle comete o le tendenze del mercato azionario, sono oggetti apparentemente semplici. Tuttavia, determinare il numero esatto di punti razionali su di essi è rimasto sfuggente. I teorici dei numeri cercano da tempo un’unica regola applicabile a tutte le curve, una sfida che persiste nonostante i progressi nel campo. Perché è importante? I punti razionali non sono solo curiosità teoriche: sono alla base della crittografia, rendendo questa ricerca sorprendentemente rilevante per le applicazioni del mondo reale.
Il nuovo limite
I matematici cinesi, in un documento pubblicato il 2 febbraio, hanno presentato una formula che si applica a tutte le curve, indipendentemente dalla loro complessità. Non si tratta di trovare il numero esatto di punti razionali; fissa invece un massimo definitivo. Le formule precedenti avevano una portata limitata o dipendevano dall’equazione specifica della curva. Il nuovo risultato è “uniforme”, nel senso che funziona per qualsiasi curva senza che sia necessario conoscerne l’equazione in anticipo.
Come funziona
Le curve sono definite da equazioni polinomiali (come x² + y² = 1). Il numero di punti razionali varia drasticamente a seconda del grado dell’equazione (la potenza più alta delle variabili). Le curve di grado 2 hanno nessuno o infiniti punti razionali. Le curve di grado superiore (grado 3 o più) possono avere un numero finito. Nel 1922, Louis Mordell congetturò che tutte le curve di grado 4 o superiore abbiano un numero finito di punti razionali, un’affermazione dimostrata nel 1983 da Gerd Faltings.
Questa nuova svolta si basa sul teorema di Faltings. La formula dipende da due fattori: il grado della curva e una proprietà chiamata “varietà Jacobiana”, una superficie costruita a partire dalla curva. Più alto è il grado, più debole diventa l’affermazione, ma la formula rimane valida.
Implicazioni e ricerca futura
Le implicazioni sono significative. Come osserva il matematico Barry Mazur dell’Università di Harvard, questo risultato “stabilisce un nuovo standard” per la comprensione delle curve. Il lavoro non riguarda solo le curve stesse. Gli stessi principi si applicano alle forme multidimensionali (varietà) utilizzate nella fisica teorica per modellare lo spazio e il tempo.
I recenti progressi in quest’area suggeriscono che è in corso un nuovo capitolo nella teoria dei numeri. Matematici come Hector Pasten e Jerson Caro hanno già posto limiti superiori ai punti razionali per le superfici, e quest’ultima scoperta fornisce lo slancio per ulteriori esplorazioni.
La questione dei punti razionali sulle curve – un problema che abbraccia millenni – è ora più vicina alla risoluzione che mai. Il nuovo risultato non è la risposta definitiva, ma è un passo cruciale verso una comprensione più profonda di questi oggetti matematici fondamentali.
