Selama lebih dari dua milenium, para ahli matematika bergulat dengan pertanyaan mendasar tentang kurva—garis yang ditentukan oleh persamaan—yaitu, berapa banyak titik rasional yang terdapat di dalamnya. Titik rasional adalah titik yang koordinatnya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat atau pecahan. Kini, tim matematikawan Tiongkok telah mencapai terobosan besar, dengan menetapkan batas atas universal pertama untuk jumlah titik tersebut pada kurva apa pun.
Tantangan Lama
Kurva, baik yang mewakili jalur komet atau tren pasar saham, tampaknya merupakan objek sederhana. Namun, menentukan jumlah pasti poin rasional masih sulit dipahami. Para ahli teori bilangan telah lama mencari aturan tunggal yang dapat diterapkan pada semua kurva, sebuah tantangan yang terus berlanjut meskipun ada kemajuan dalam bidang ini. Mengapa ini penting? Poin-poin rasional bukan sekadar keingintahuan teoretis: poin-poin tersebut mendasari kriptografi, sehingga membuat penelitian ini sangat relevan dengan aplikasi dunia nyata.
Batas Baru
Para matematikawan Tiongkok, dalam makalah yang dirilis pada 2 Februari, telah menyajikan rumus yang berlaku untuk semua kurva, terlepas dari kompleksitasnya. Ini bukan tentang menemukan jumlah poin rasional yang tepat ; sebaliknya, ini menetapkan batas maksimum yang pasti. Rumus sebelumnya memiliki cakupan terbatas atau bergantung pada persamaan kurva tertentu. Hasil barunya adalah “seragam”, artinya dapat diterapkan pada kurva mana pun tanpa perlu mengetahui persamaannya terlebih dahulu.
Cara Kerjanya
Kurva ditentukan oleh persamaan polinomial (seperti x² + y² = 1). Jumlah poin rasional bervariasi secara drastis tergantung pada derajat persamaan (pangkat tertinggi dari variabel). Kurva dengan derajat 2 tidak mempunyai titik rasional atau tak terhingga. Kurva derajat yang lebih tinggi (derajat 3 atau lebih) dapat mempunyai bilangan berhingga. Pada tahun 1922, Louis Mordell menduga bahwa semua kurva dengan derajat 4 atau lebih tinggi memiliki jumlah titik rasional yang terbatas—klaim yang dibuktikan pada tahun 1983 oleh Gerd Faltings.
Terobosan baru ini didasarkan pada teorema Faltings. Rumusnya bergantung pada dua faktor: derajat kurva dan properti yang disebut “varietas Jacobian”, yaitu permukaan yang dibangun dari kurva. Semakin tinggi derajatnya, semakin lemah pernyataannya, namun rumusnya tetap berlaku.
Implikasi dan Penelitian Masa Depan
Implikasinya sangat signifikan. Seperti yang dicatat oleh ahli matematika Barry Mazur dari Universitas Harvard, hasil ini “menetapkan standar baru” untuk memahami kurva. Pekerjaan ini bukan hanya tentang kurva itu sendiri. Prinsip yang sama berlaku untuk bentuk dimensi tinggi (manifold) yang digunakan dalam fisika teoretis untuk memodelkan ruang dan waktu.
Kemajuan terkini dalam bidang ini menunjukkan bahwa babak baru dalam teori bilangan sedang berlangsung. Matematikawan seperti Hector Pasten dan Jerson Caro telah menetapkan batas atas titik rasional permukaan, dan temuan terbaru ini memberikan momentum untuk eksplorasi lebih lanjut.
Pertanyaan tentang titik-titik rasional pada kurva—masalah yang telah berlangsung selama ribuan tahun—kini semakin mendekati penyelesaian dibandingkan sebelumnya. Hasil baru ini bukanlah jawaban akhir, namun merupakan langkah penting menuju pemahaman yang lebih mendalam terhadap objek matematika mendasar ini.
