Depuis plus de deux millénaires, les mathématiciens sont aux prises avec une question fondamentale concernant les courbes (les lignes définies par des équations) : combien de points rationnels elles contiennent. Les points rationnels sont ceux dont les coordonnées peuvent être exprimées sous forme de nombres entiers ou de fractions. Aujourd’hui, une équipe de mathématiciens chinois a réalisé une avancée majeure, en établissant la première limite supérieure universelle du nombre de ces points sur n’importe quelle courbe.
Le défi de longue date
Les courbes, qu’elles représentent les trajectoires des comètes ou les tendances boursières, sont des objets apparemment simples. Pourtant, déterminer le nombre exact de points rationnels sur ces objets reste difficile à déterminer. Les théoriciens des nombres recherchent depuis longtemps une règle unique applicable à toutes les courbes, un défi qui persiste malgré les progrès du domaine. Pourquoi est-ce important ? Les points rationnels ne sont pas seulement des curiosités théoriques : ils sous-tendent la cryptographie, ce qui rend cette recherche étonnamment pertinente pour les applications du monde réel.
La nouvelle limite
Les mathématiciens chinois, dans un article publié le 2 février, ont présenté une formule qui s’applique à toutes les courbes, quelle que soit leur complexité. Il ne s’agit pas de trouver le nombre exact de points rationnels ; au lieu de cela, il fixe un maximum définitif. Les formules précédentes étaient soit limitées dans leur portée, soit dépendantes de l’équation spécifique de la courbe. Le nouveau résultat est « uniforme », ce qui signifie qu’il fonctionne pour n’importe quelle courbe sans qu’il soit nécessaire de connaître son équation à l’avance.
Comment ça marche
Les courbes sont définies par des équations polynomiales (comme x² + y² = 1). Le nombre de points rationnels varie considérablement en fonction du degré de l’équation (la plus grande puissance des variables). Les courbes de degré 2 ont soit aucun point rationnel, soit une infinité de points. Les courbes de degré supérieur (degré 3 ou plus) peuvent avoir un nombre fini. En 1922, Louis Mordell a supposé que toutes les courbes de degré 4 ou plus avaient un nombre fini de points rationnels – une affirmation prouvée en 1983 par Gerd Faltings.
Cette nouvelle avancée s’appuie sur le théorème de Faltings. La formule dépend de deux facteurs : le degré de la courbe et une propriété appelée « variété jacobienne », une surface construite à partir de la courbe. Plus le degré est élevé, plus l’énoncé devient faible, mais la formule reste valable.
Implications et recherches futures
Les implications sont importantes. Comme le note le mathématicien Barry Mazur de l’Université Harvard, ce résultat « établit une nouvelle norme » pour la compréhension des courbes. Le travail ne concerne pas seulement les courbes elles-mêmes. Les mêmes principes s’appliquent aux formes de dimensions supérieures (variétés) utilisées en physique théorique pour modéliser l’espace et le temps.
Des progrès récents dans ce domaine suggèrent qu’un nouveau chapitre de la théorie des nombres est en cours. Des mathématiciens comme Hector Pasten et Jerson Caro ont déjà fixé des limites supérieures aux points rationnels des surfaces, et cette dernière découverte donne un nouvel élan à une exploration plus approfondie.
La question des points rationnels sur les courbes – un problème qui s’étend sur des millénaires – est aujourd’hui plus proche que jamais d’être résolue. Le nouveau résultat n’est pas la réponse définitive, mais il constitue une étape cruciale vers une compréhension plus approfondie de ces objets mathématiques fondamentaux.
