Durante más de dos milenios, los matemáticos han lidiado con una cuestión fundamental acerca de las curvas (líneas definidas por ecuaciones), a saber, cuántos puntos racionales contienen. Puntos racionales son aquellos cuyas coordenadas se pueden expresar como números enteros o fraccionarios. Ahora, un equipo de matemáticos chinos ha logrado un gran avance al establecer el primer límite superior universal en el número de puntos de este tipo en cualquier curva.
El desafío de larga data
Las curvas, ya sea que representen trayectorias de cometas o tendencias del mercado de valores, son objetos aparentemente simples. Sin embargo, determinar el número exacto de puntos racionales en ellos sigue siendo difícil de alcanzar. Los teóricos de los números han buscado durante mucho tiempo una regla única aplicable a todas las curvas, un desafío que ha persistido a pesar de los avances en el campo. ¿Por qué esto importa? Los puntos racionales no son sólo curiosidades teóricas: sustentan la criptografía, lo que hace que esta investigación sea sorprendentemente relevante para aplicaciones del mundo real.
El nuevo límite
Los matemáticos chinos, en un artículo publicado el 2 de febrero, presentaron una fórmula que se aplica a todas las curvas, independientemente de su complejidad. No se trata de encontrar el número exacto de puntos racionales; en cambio, establece un máximo definitivo. Las fórmulas anteriores tenían un alcance limitado o dependían de la ecuación específica de la curva. El nuevo resultado es “uniforme”, lo que significa que funciona para cualquier curva sin necesidad de conocer su ecuación de antemano.
Cómo funciona
Las curvas se definen mediante ecuaciones polinómicas (como x² + y² = 1). El número de puntos racionales varía drásticamente según el grado de la ecuación (la potencia más alta de las variables). Las curvas con grado 2 no tienen puntos racionales o tienen infinitos puntos. Las curvas de mayor grado (grado 3 o más) pueden tener un número finito. En 1922, Louis Mordell conjeturó que todas las curvas de grado 4 o superior tienen un número finito de puntos racionales, afirmación demostrada en 1983 por Gerd Faltings.
Este nuevo avance se basa en el teorema de Faltings. La fórmula depende de dos factores: el grado de la curva y una propiedad llamada “variedad jacobiana”, una superficie construida a partir de la curva. Cuanto mayor es el grado, más débil se vuelve la afirmación, pero la fórmula sigue siendo válida.
Implicaciones e investigaciones futuras
Las implicaciones son significativas. Como señala el matemático Barry Mazur de la Universidad de Harvard, este resultado “establece un nuevo estándar” para la comprensión de las curvas. El trabajo no se trata sólo de las curvas en sí. Los mismos principios se aplican a formas de dimensiones superiores (colectores) utilizadas en física teórica para modelar el espacio y el tiempo.
Los avances recientes en esta área sugieren que se está abriendo un nuevo capítulo en la teoría de números. Matemáticos como Héctor Pasten y Jerson Caro ya han colocado límites superiores a puntos racionales para superficies, y este último hallazgo proporciona impulso para una mayor exploración.
La cuestión de los puntos racionales en las curvas (un problema que abarca milenios) está ahora más cerca que nunca de su resolución. El nuevo resultado no es la respuesta final, pero es un paso crucial hacia una comprensión más profunda de estos objetos matemáticos fundamentales.
