Sčítání zlomků není jen překážkou úspěchu v kurzu matematiky. Toto je dovednost, která se uplatní v reálném životě. Využijete jej při dělení pizzy, měření ingrediencí sušenek nebo načasování. Ale pokud se díváte na dva zlomky s různými jmenovateli, může vám to připadat jako hádanka bez řešení.
Ve svém jádru je sčítání zlomků jednoduchá aritmetika. Zahrnuje spojení dvou nebo více zlomkových čísel. Zlomek představuje část celku. Skládá se vždy ze dvou částí: čitatel (horní číslo) a jmenovatel (dolní číslo).
Čitatel ukazuje, kolik dílů máte. Jmenovatel udává, na kolik stejných částí je celek rozdělen.
Představte si to takto. Pokud máte jeden plátek osmidílné pizzy, máte 1/8. Pokud má váš přítel další 1/8 kusu, pak máte pouze dva kusy. Je to snadné, protože kusy mají stejnou velikost.
Ale co se stane, když jsou velikosti kusů různé?
Tady se většina lidí zasekne.
Nemůžete jednoduše přidat čitatele, pokud se jmenovatelé liší. Je to jako zkoušet sečíst jablka a pomeranče nebo palce a centimetry. Jednotky měření se neshodují. Pro jejich přidání je nutné uvést jednotky do obecné podoby.
Tento proces se nazývá hledání společného jmenovatele.
Jakmile se jmenovatelé shodují, zlomky jsou části stejné velikosti. Nyní se přidávání stává jednoduchým. Jednoduše sečtete nejvyšší čísla. Spodní číslo zůstává nezměněno.
Pochopení tohoto mechanismu je klíčové. Týká se všeho od základní algebry až po kuchařské recepty. Jakmile pochopíte jak spojovat části dohromady, matematika přestane připadat svévolně. Stává se z toho logický systém.
Studenti se tohoto kroku často obávají. Podobně to mohou mít i rodiče, kteří pomáhají s domácími úkoly. Strach obvykle pochází ze strachu, že dostanete „špatnou odpověď“. Ale existuje metoda. A tuto metodu opakujeme.
V následujících částech se podrobně podíváme na to, jak pracovat s podobnými a rozdílnými jmenovateli. Podíváme se na běžné chyby a na to, jak je rychle opravit. Nemusíte být matematický génius. Musíte pouze postupovat podle kroků.
Když se jmenovatelé shodují, vše je jednoduché
K sčítání zlomků, které již mají společné spodní číslo (jmenovatel), nepotřebujete složité vzorce. Pokud jsou jmenovatelé stejní, matematika se stává extrémně jednoduchou. Jednoduše sečtete horní čísla (čitatele) a společného jmenovatele ponecháte beze změny.
Podívejte se na tento příklad:
$$ \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} $$
Jmenovatel všech tří zlomků je 5. Protože se již shodují, ignorujete prozatím 5 a soustředíte se výhradně na čitatele. Sečtěte 1, 2 a 3 a dostanete 6. Váš nový zlomek je jednoduše $\frac{6}{5}$. Připraveno.
Práce s různými jmenovateli
Věci se zkomplikují, když se jmenovatelé liší. Nelze přímo sčítat zlomky s různými jmenovateli. Takhle to nefunguje. Nejprve je musíte přivést ke společnému jmenovateli. Teprve potom můžete přidat čitatele.
Pro sečtení pouhých dvou zlomků s různými jmenovateli se často používá motýlí metoda. Je vizuální, rychlý a obvykle zabraňuje chybám křížového násobení.
Zde je návod, jak například použít motýlí techniku.
Sečtení dvou zlomků s různými jmenovateli vyžaduje jejich zmenšení na společného jmenovatele. Nejprve se vypočítá jmenovatel výsledku. Jednoduchým způsobem je vynásobit dva jmenovatele dohromady.
Po obdržení nového jmenovatele je nutné najít nové čitatele. Zde přichází k záchraně „motýlí“ metoda. Zní to složitě, ale je to jen křížové násobení. Vezměte čitatel prvního zlomku a vynásobte jej jmenovatelem druhého. Pak udělejte opak: vynásobte čitatel druhého zlomku jmenovatelem prvního. Přidejte výsledné dva produkty. Tato částka se stane vaším novým čitatelem. Výsledek? Konečný zlomek.
Sčítání tří nebo více zlomků
Co se stane, když sečtete tři, čtyři nebo více zlomků? Násobení jmenovatelů funguje, ale výsledkem jsou často obrovská čísla, která je obtížné zjednodušit. V takových případech použijte nejmenší společný násobek (LCM).
Podívejme se na konkrétní příklad. Řekněme, že sečtete zlomky se jmenovateli 4, 6 a 8. Nalezení LCM těchto čísel dá společného jmenovatele. Toto je 24.
Nyní o čitatelích. Vydělte LCM (24) původním jmenovatelem každého zlomku. Výsledek pak vynásobte původním čitatelem. Toto opakujte pro každý zlomek v sadě.
- Vydělte 24 prvním jmenovatelem a vynásobte jeho čitatelem.
- Vydělte 24 druhým jmenovatelem a vynásobte jeho čitatelem.
- Totéž opakujte pro třetí zlomek.
Sečtěte všechny nové čitatele, které jste právě vypočítali. Umístěte tento součet nad jmenovatel rovný LCM. Máš svou odpověď.
“Při sčítání více zlomků udržuje LCM čísla v rozumném rozsahu ve srovnání s jednoduchým vynásobením všech jmenovatelů.”
Viz také: [Least Common Multiple (LCM)] a [Equivalent Fractions].
Sčítání smíšených čísel
Smíšená čísla přidávají vrstvu složitosti, protože kombinují celá čísla a zlomky. Nejčistší způsob, jak se s tím vypořádat, je oddělení. Rozdělte každé smíšené číslo na celočíselnou část a zlomkovou část.
Sečtěte všechna celá čísla dohromady. Poté sečtěte všechny zlomky pomocí metod popsaných výše pro zlomky s různými jmenovateli. Pokud je součet zlomků větší než jedna, převeďte jej na smíšené číslo a celé číslo přičtěte k celkovému součtu celých čísel. Tato metoda je méně náchylná k chybám než první převod všeho na nesprávné zlomky.
Proč je to důležité? Protože vás to nutí sledovat velikost čísla. Můžete jasně vidět celou část. Tím se zabrání běžné chybě, kdy zapomenete přenést jednotku navíc, když součet zlomků přesáhne jednu.
Studenti tento krok často přeskakují. Spěchají převádět čísla na nesprávné zlomky. I když je to přijatelné, zvyšuje to pravděpodobnost aritmetických chyb při práci s velkými čitateli. Oddělení je bezpečnější. Je to také rychlejší, jakmile to pochopíte.
Rodičům, kteří pomáhají s domácími úkoly, může být tento přístup intuitivnější. Odráží to, jak vlastně mluvíme o množství. “Dvě stě a půl šálku plus jedna čtvrtina šálku.” V naší mysli zacházíme s poháry a zlomky odděleně. Učení se této logice vytváří silnější numerický smysl než učení algoritmických kroků zpaměti.
Celoživotní studenti a dělníci se s tím mohou setkat ve stavebnictví nebo vaření. Na přesnosti záleží. Důležitá je ale také rychlost. Vědět, která metoda je vhodná pro konkrétní čísla, je dovednost.
Sčítání zlomků je pro studenty často náročné kvůli jednomu opakujícímu se problému: různým jmenovatelům. Pokud se spodní čísla shodují, jednoduše přidejte horní. Jen. Ale když se neshodují, potřebujete strategii.
Existují dva hlavní způsoby, jak tento úkol zvládnout. Metoda motýlka je skvělá pro rychlé přidání dvou frakcí. Je vizuální a nevyžaduje složité výpočty. Metoda LCM (Least Common Multiple) se lépe škáluje. Použijte jej, když máte tři nebo více zlomků, nebo když jsou čísla příliš nepraktická.
Podívejme se na konkrétních příkladech, jak přesně tyto metody fungují.
Sečtení dvou zlomků s různými jmenovateli
Když máte dva zlomky, motýlí metoda je často nejrychlejší způsob. Vyhýbá se explicitnímu hledání společného jmenovatele. Místo toho se používá křížové násobení.
Cvičení 1
Řešení: $ 4/7 + $ 3/5
Krok 1: Vynásobte jmenovatele.
7 $ \krát 5 = 35 $
To se stane vaším novým jmenovatelem.
Krok 2: Křížkem vynásobte čitatele.
Vezměte horní číslo prvního zlomku a vynásobte ho spodním číslem druhého:
4 $ \krát 5 = 20 $
Vezměte horní číslo druhého zlomku a vynásobte ho spodním číslem prvního:
$3 \krát 7 = 21 $
Krok 3: Sečtěte své výsledky.
20 $ + 21 = 41 $
Výsledek: 41 $ / 35 $. Protože je čitatel větší než jmenovatel, lze tuto hodnotu převést na smíšené číslo.
41 $ \div 35 = 1 $ (zbývá $ 6 $).
Konečná odpověď: $1\6/35$.
Sčítání smíšených čísel
Smíšená čísla přidávají další vrstvu složitosti: máte celá čísla A zlomky. Trik je zpracovat je samostatně.
Cvičení 2
Řešení: $2\3/8 + 5\1/3 $
Krok 1: Nejprve sečtěte celá čísla.
2 $ + 5 = 7 $. Zapamatujte si toto číslo. Doplníte ho na konec.
Krok 2: Zaměřte se pouze na zlomkové části: $ 3/8 + $ 1/3.
Použijte motýlí metodu.
Jmenovatel: $8 \krát 3 = $24.
Čitatele (křížové násobení):
$3 \krát 3 = 9 $
$1 \krát 8 = 8 $
Sečtěte čitatele:
9 $ + 8 = 17 $
Takže zlomková část je 17 $ / 24 $.
Krok 3: Kombinujte se součtem celých čísel.
7\17/24 $.
Tato metoda funguje, protože sčítání je asociativní. $(2 + 5) + (3/8 + 1/3)$ dává stejný výsledek bez ohledu na pořadí operací.
Sčítání tří nebo více zlomků
Když máte tři zlomky, stane se motýlí metoda nepraktická. Budete je muset několikrát křížově násobit ve dvojicích. Metoda NOK zde vypadá čistěji. Najde jednoho společného jmenovatele pro všechny zlomky najednou.
Cvičení 3
Řešení: $ 3/2 + 5/11 + $ 4/7
Krok 1: Najděte LCM jmenovatelů (2, 11, 7).
Protože tato čísla jsou relativně prvočísla, vynásobte je:
$2\krát 11\krát 7 = 154 USD.
Krok 2: Převeďte každý zlomek tak, aby jmenovatel byl 154.
Vydělte 154 původním jmenovatelem a poté vynásobte původním čitatelem.
Za $ 3/2 $:
154 $\div 2 = 77 $
77 $\krát 3 = 231 $
Za $ 5/11 $:
154 $ \div 11 = 14 $
14 $\krát 5 = 70 $
Za $ 4/7 $:
154 $ \div 7 = 22 $
22 $\krát 4 = 88 $
Krok 3: Sečtěte nové čitatele.
231 $ + 70 + 88 = 389 $
Výsledek: 389 $ / 154 $.
Převést na smíšené číslo:
389 $ \div 154 = 2 $ (zbývá 81 $).
Celkem: 2\81/154 $.
Nejprve zpracováváme zlomky se stejnými jmenovateli
Někdy máte směs: některé zlomky mají společného jmenovatele, jiné ne. Nejprve zjednodušte jednoduché části, abyste snížili množství práce.
Cvičení 4
Řešení: $2/5 + 4/5 + $3/3
Krok 1: Přidejte zlomky s podobnými jmenovateli ($2/5$ a $4/5$).
$2 + 4 = $6, takže dostanete $6/$5.
Nyní je problém zjednodušen: $ 6/5 + $ 3/3.
Krok 2: Vyřešte $6/5 + $3/3 pomocí motýlkové metody nebo LCM.
Použijeme motýlí metodu.
Jmenovatel: $5 \krát 3 = $15.
Čitatelé:
$6\krát 3 = $18
$3\krát 5 = $15
Částka: 18 $ + 15 = 33 $.
Výsledek: 33 $ / 15 $.
Zmenšit: obě čísla jsou dělitelná 3.
33 $\div 3 = 11 $
15 $ \div 3 = 5 $
Konečná odpověď: $11/5$ nebo $2\1/5$.
Komplexní součty smíšených čísel
Co se stane, když sečtete tři smíšená čísla? Strategie zůstává stejná. Složte celé kusy dohromady. Sečtěte zlomky. Spojte výsledky.
Cvičení 5
Řešení: $4\1/3 + 3\1/2 + 8\1/6 $
Krok 1: Sečtěte celá čísla.
4 $ + 3 + 8 = 15 $. Pamatujte si to.
Krok 2: Sečtěte zlomky: $1/3 + 1/2 + 1/6 $.
Najděte LCM pro 3, 2 a 6.
6 je dělitelné 3 a 2. Proto je LCM 6.
Převést zlomky:
$1/3 \rightarrow (6 \div 3) \times 1 = 2/6$
$1/2 \rightarrow (6 \div 2) \times 1 = 3/6$
$1/6 \rightarrow 1/6$
Sečtěte čitatele:
2 $ + 3 + 1 = 6 $
Součet zlomků: $6/6 = $1.
Krok 3: Sečtěte výsledek sčítání zlomků k součtu celých čísel.
15 $ + 1 = 16 $.
Součty čtyř zlomků
Přechod na součet čtyř zlomků nemění matematiku, pouze aritmetiku.
Cvičení 6
Řešení: $1/4 +
